Question

tìm các số nguyên n để n^2+n+1 là số chính phương

Answer 1

Lời giải:

Vì \(n^2+n+1\) là số chính phương nên đặt \(n^2+n+1=t^2\)

\(\Rightarrow 4n^2+4n+4=(2t)^2\)

\(\Leftrightarrow (2n+1)^2+3=(2t)^2\)

\(\Leftrightarrow (2t)^2-(2n+1)^2=3\)

\(\Leftrightarrow (2t-2n-1)(2t+2n+1)=3\)

TH1:

\(\left\{\begin{matrix} 2t-2n-1=1\\ 2t+2n+1=3\end{matrix}\right.\Rightarrow 2n+1=1\rightarrow n=0\)

TH2:

\(\left\{\begin{matrix} 2t-2n-1=3\\ 2t+2n+1=1\end{matrix}\right.\Rightarrow 2n+1=-1\rightarrow n=-1\)

TH3:

\(\left\{\begin{matrix} 2t-2n-1=-1\\ 2t+2n+1=-3\end{matrix}\right.\Rightarrow 2n+1=-1\rightarrow n=-1\)

TH4:

\(\left\{\begin{matrix} 2t-2n-1=-3\\ 2t+2n+1=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow 2n+1=1\rightarrow n=0\)

Vậy \(n\in\left\{-1;0\right\}\)