Bài 7: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (Tiếp).

Để lập được phương trình và giải bài toán một cách dễ dàng và ngắn gọn, ta cần khéo chọn ẩn và tìm được mối liên quan giữa các đại lượng trong bài toán. Lập bảng biểu diễn các đại lượng trong bài toán theo ẩn số đã chọn là một phương pháp thường dùng.

Ví dụ: Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc 35 km/h. Sau đó 24 phút, trên cùng tuyến đường đó có một ô tô xuất phát từ Nam Định đi Hà Nội với vận tốc 45 km/h. Biết quãng đường Hà Nội - Nam Định dài 90 km. Hỏi sau bao lâu, kể từ khi xe máy khởi hành thì hai xe gặp nhau?

Phân tích bài toán:

Hai đối tượng tham gia vào bài toán là xe máy và ô tô, các đại lượng liên quan là vận tốc (đã biết), thời gian và quãng đường (chưa biết). Đối với từng đối tượng, các đại lượng ấy liên hệ với nhau theo công thức:

        Quãng đường (km) = Vận tốc (km/h)  x  Thời gian (h)

Nếu chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn, chẳng hạn chọn thời gian từ lúc xe máy khởi hành đến lúc hai xe gặp nhau là x (giờ) thì ta có thể lập bảng để biểu diễn các đại lượng trong bài toán như sau (trước hết đổi 24 phút = \(\dfrac{2}{5}\) giờ)

Do hai xe ngược chiều nhau nên đến khi gặp nhau thì tổng quãng đường mà hai xe đã đi đúng bằng quãng đường Hà Nội - Nam Định.

Nên ta được phương trình: \(35x+45\left(x-\dfrac{2}{5}\right)=90\)

Giải bài toán:

Gọi thời gian từ lúc xe máy khởi hành đên lúc hai xe gặp nhau là \(x\) (giờ) (x>\(\dfrac{2}{5}\))

Trong thời gian đó, quãng đường mà xe máy đã đi được là: 35\(x\) (km)

Vì ô tô xuất phát sau xe máy 24 phút = \(\dfrac{2}{5}\) giờ nen thời gian ô tô đi từ lúc khởi hành đến khi gặp nhau là \(x-\dfrac{2}{5}\) (giờ) và quãng đường mà ô tô đã đi được là \(45\left(x-\dfrac{2}{5}\right)\)(km).

Đến lúc hai xe gặp nhau, tổng quãng đường hai xe đã đi đúng bằng quãng đường Hà Nội - Nam Định và bằng 90 km nên ta có phương trình:

\(35x+45\left(x-\dfrac{2}{5}\right)=90\)

Giải phương trình:

\(35x+45\left(x-\dfrac{2}{5}\right)=90\) \(\Leftrightarrow35x+45x-18=90\)

                                       \(\Leftrightarrow80x=108\)

                                       \(\Leftrightarrow x=\dfrac{108}{80}=\dfrac{27}{20}\) (t/m)

Vậy thời gian để hai xe gặp nhau là \(\dfrac{27}{20}\) giờ hay 1 giờ 21 phút, kể từ lúc xe máy khởi hành.

Cũng với bài toán trên, nếu ta không chọn thời gian kể từ lúc xe máy khởi hành đến khi gặp ô tô làm ẩn mà chọn ẩn là quãng đường \(s\) (km) từ Hà Nội đến điểm gặp nhau, ta sẽ được bảng:

Do ô tô xuất phát sau xe máy 24 phút = \(\dfrac{2}{5}\) giờ nên cho đến khi gặp nhau thì thời gian ô tô đã đi ít hơn thời gian xe máy đi là \(\dfrac{2}{5}\) giờ.

Nên ta có phương trình: \(\dfrac{s}{35}=\dfrac{90-s}{45}+\dfrac{2}{5}\)

Giải phương trình:

\(\dfrac{s}{35}=\dfrac{90-s}{45}+\dfrac{2}{5}\)  \(\Leftrightarrow\dfrac{45s}{35.45}=\dfrac{35\left(90-s\right)}{35.45}+\dfrac{2.7.45}{35.45}\)

                               \(\Leftrightarrow45s=35\left(90-s\right)+2.7.45\)

                               \(\Leftrightarrow45s=3150-35s+630\)

                               \(\Leftrightarrow80s=3780\)

                               \(\Leftrightarrow s=47,25\) (t/m)

Khi đó \(\dfrac{s}{35}=\dfrac{47,25}{35}=\dfrac{27}{20}\)(h) hay 1 giờ 21 phút.

Vậy thời gian kể từ khi xe máy khởi hành đến khi hai xe gặp nhau là 1 giờ 21 phút.

Nhận xét: Cùng một bài toán, ta có nhiều cách chọn ẩn khác nhau, với mỗi cách chọn ẩn ta được một phương trình khác nhau nhưng kết quả cuối cùng cần tìm thì luôn giống nhau.

Ví dụ: Một tổ sản xuất dự kiến sản xuất 720 sản phẩm. Nếu năng suất tăng thêm 10 sản phẩm mỗi ngày thì sẽ hoàn thành sớm hơn 4 ngày so với giảm năng suất suất đi 20 sản phẩm mỗi ngày. Hỏi năng suất mà tổ đó dự kiến làm là bao nhiêu sản phẩm mỗi ngày?

Giải:

Gọi năng suất dự kiến của tổ là \(x\) (sản phẩm) (\(x\) > 4)

Số sản phẩm mà tổ làm được mỗi ngày sau khi tăng năng suất thêm 10 sản phẩm là: \(x+10\) (sản phẩm)

Khi tăng năng suất thời gian tổ đó hoàn thành kế hoạch là: \(\dfrac{720}{x+10}\) (ngày)

Số sản phẩm mà tổ làm được mỗi ngày sau khi giảm năng suất đi 4 sản phẩm là: \(x-20\) (sản phẩm)

Khi giảm năng suất thời gian tổ đó hoàn thành kế hoạch là: \(\dfrac{720}{x-20}\) (ngày)

Theo đề bài, ta có phương trình:

 \(\dfrac{720}{x+10}+4=\dfrac{720}{x-20}\) (ĐK: x>4)

Giải phương trình trên ta được \(x=80\) (t/m)

Vậy năng suất dự kiến của tổ là 80 sản phẩm/ngày.