Bài 1: Mở đầu về phương trình

1. Phương trình một ẩn

Ở lớp trước ta đã gặp một số bài toán như:

+) Tìm x, biết: \(2x+5=3\left(x-1\right)+2\)

+) Tìm x, biết: \(3x^2-5x+2=0\)

Ta gọi các hệ thức như trên là phương trình với ẩn số \(x\) (hay ẩn \(x\)).

Một phương trình với ẩn \(x\) có dạng \(A\left(x\right)=B\left(x\right)\), trong đó vế trái \(A\left(x\right)\) và vế phải \(B\left(x\right)\) là hai biểu thức của cùng một biến \(x\).

Ví dụ:

+) \(2x-5=0\) là một phương trình một ẩn (ẩn \(x\) )

+) \(y+2=3\left(y-1\right)\) là một phương trình một ẩn (ẩn \(y\))

+) \(t^2-2t+1=t-2\) là một phương trình một ẩn (ẩn \(t\))

Nghiệm của phương trình \(A\left(x\right)=B\left(x\right)\) là giá trị của \(x\) mà tại đó giá trị của biểu thức vế trái \(A\left(x\right)\) bằng giá trị của biểu thức vế phải \(B\left(x\right)\).

Ví dụ: Xét phương trình \(2x+5=3\left(x-1\right)+2\):

Tại \(x=6\) ta thấy: VT = \(2x+5=2.6+5=17\)

                             VP = \(3\left(x-1\right)+2=3\left(6-1\right)+2=3.5+2=17\)

Suy ra tại \(x=6\) thì 2 vế của phương trình nhận cùng một giá trị là \(17\)

Nên ta nói \(x=6\) là một nghiệm của phương trình \(2x+5=3\left(x-1\right)+2\).

Ví dụ 1: Cho phương trình \(2\left(x+2\right)-7=3-x\). Hỏi \(x=-2\) có là nghiệm của phương trình đó không?

Bài giải:

Tại \(x=-2\) ta thấy:

VT = \(2\left(x+2\right)-7=2\left(-2+2\right)-7=2.0-7=0-7=-7\)

VP = \(3-x=3-\left(-2\right)=3+2=5\)

Suy ra tại \(x=-2\) vế trái và vế phải của phương trình không nhận cùng một giá trị

Nên \(x=-2\) không là nghiệm của phương trình \(2\left(x+2\right)-7=3-x\).

*Chú ý:

- Hệ thức \(x=m\) (với \(m\) là một số nào đó) cũng là một phương trình. Phương trình này chỉ rõ rằng \(m\) là nghiệm duy nhất của nó.

Ví dụ:

+) Phương trình \(x=5\) có nghiệm duy nhất là \(5\).

+) Phương trình \(x=\dfrac{3}{8}\) có nghiệm duy nhất là \(\dfrac{3}{8}\).

- Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm,..., nhưng cũng có thể không có nghiệm nào hoặc có vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: 

+) Phương trình \(x-2=0\) có một nghiệm là \(2\).

+) Phương trình \(\left|y-1\right|=3\) có hai nghiệm là \(4\) và -2.

+) Phương trình \(t^2+1=0\) không có nghiệm do vế trái của phương trình lớn hơn 0 với mọi t.

+) Phương trình \(x-1=2\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\) có vô số nghiệm.

2. Giải phương trình

Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó và thường được kí hiệu bởi \(S\).

Ví dụ:

+) Phương trình \(\left|y-1\right|=3\) có 2 nghiệm là 4 và -2. Nên tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{4;-2\right\}\).

+) Phương trình \(x-1=2\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\) có vô số nghiệm. Nên tập nghiệm của phương trình là \(Q\).

Giải phương trình là tìm ra tất cả các nghiệm (hay tập nghiệm) của phương trình đó.

3. Phương trình tương đương

Hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương.

Để chỉ hai phương trình tương đương ta dùng kí hiệu "\(\Leftrightarrow\)".

Ví dụ: Phương trình \(x+1=0\) có tập nghiệm là \(S=\left\{-1\right\}\)

          Phương trình \(x=-1\) có tập nghiệm \(S=\left\{-1\right\}\)

Nên ta nói đó là hai phương trình tương đương và kí hiệu là:

 \(x+1=0\Leftrightarrow x=-1\)

Ví dụ 2: Giải phương trình \(2x-5=0\)

Ta có: \(2x-5=0\)

   \(\Leftrightarrow2x=-5\)

   \(\Leftrightarrow x=\dfrac{-5}{2}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S=\left\{\dfrac{-5}{2}\right\}\).

Ví dụ 3: Giải phương trình \(x^2-3x+2=0\)

Ta có: \(x^2-3x+2=0\)

   \(\Leftrightarrow x^2-x-2x+2=0\)

   \(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)=0\)

   \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\)

   \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\Leftrightarrow x=1\\x-2=0\Leftrightarrow x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{1;2\right\}\).