Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ta biết rằng đối với một phân số, mẫu số phải khác 0.

Tương tự như vậy đối với một phân thức đại số chứa ẩn ở mẫu, ta phải tìm điều kiện để mẫu khác 0 thì phân thức mới xác định.

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, khi biến đổi phương trình mà làm mất mẫu chứa ẩn của phương trình thì phương trình nhận được có thể không tương đương với phương trình ban đầu do không thoả mãn điều kiện xác định của các hạng tử(các phân thức) của phương trình đó.

Do đó, khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta phải chú ý đến một yếu tố đặc biệt, đó là điều kiện xác định của phương trình.

1. Tìm điều kiện xác định của một phương trình

Điều kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của một phương trình chứa ẩn ở mẫu là điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0.

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình:

a) \(\dfrac{2x+1}{x-2}=1\)             

b) \(\dfrac{2}{x-1}=1+\dfrac{1}{x+2}\)          

c) \(1+\dfrac{2}{4-x^2}=\dfrac{x-1}{x+2}-\dfrac{x}{x-1}\)

Giải:

a) Vì \(x-2=0\Leftrightarrow x=2\) nên ĐKXĐ của phương trình \(\dfrac{2x+1}{x-2}=1\) là \(x\ne2\).

b) Ta thấy \(x-1=0\Leftrightarrow x=1\) và \(x+2=0\Leftrightarrow x=-2\) nên ĐKXĐ của phương trình \(\dfrac{2}{x-1}=1+\dfrac{1}{x+2}\) là \(x\ne1;x\ne-2\).

c) Ta thấy:

     \(4-x^2=\left(2-x\right)\left(2+x\right)=0\)  \(\Leftrightarrow\) \(x=2\) hoặc \(x=-2\)

     \(x+2=0\Leftrightarrow x=-2\)

     \(x-1=0\Leftrightarrow x=1\)

  nên ĐKXĐ của phương trình \(1+\dfrac{2}{4-x^2}=\dfrac{x-1}{x+2}-\dfrac{x}{x-1}\) là \(x\ne\pm2;x\ne1\).

2. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Cách giải:

- Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

- Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

- Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

- Bước 4: Kết luận.

Trong các giá trị của ẩn vừa tìm được, giá trị nào thoả mãn ĐKXĐ của phương trình chính là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 2: Giải phương trình \(\dfrac{x+2}{x}=\dfrac{2x+3}{2\left(x-2\right)}\).

Giải:

- Tìm điều kiện xác định của phương trình: \(x\ne0;x\ne2\).

- Quy đồng mẫu 2 vế của phương trình: \(\dfrac{2\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{2x\left(x-2\right)}=\dfrac{x\left(2x+3\right)}{2x\left(x-2\right)}\)

- Khử mẫu phương trình ta được: \(2\left(x+2\right)\left(x-2\right)=x\left(2x+3\right)\)

- Giải phương trình: 

          \(2\left(x+2\right)\left(x-2\right)=x\left(2x+3\right)\)

     \(\Leftrightarrow2\left(x^2-4\right)=x\left(2x+3\right)\)

     \(\Leftrightarrow2x^2-8=2x^2+3x\)

     \(\Leftrightarrow-8=3x\)

     \(\Leftrightarrow x=\dfrac{-8}{3}\)

- Ta thấy \(x=\dfrac{-8}{3}\) thoả mãn ĐKXĐ nên \(x=\dfrac{-8}{3}\) là nghiệm của phương trình.

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{\dfrac{-8}{3}\right\}\).

3. Áp dụng

Ví dụ 3: Giải phương trình \(\dfrac{x}{2\left(x-3\right)}+\dfrac{x}{2x+2}=\dfrac{2x}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\).

Giải:

\(\dfrac{x}{2\left(x-3\right)}+\dfrac{x}{2x+2}=\dfrac{2x}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\) (ĐKXĐ: \(x\ne3;x\ne-1\))

\(\Leftrightarrow\dfrac{x\left(x+1\right)}{2\left(x+1\right)\left(x-3\right)}+\dfrac{x\left(x-3\right)}{2\left(x+1\right)\left(x-3\right)}=\dfrac{2.2x}{2\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\)

\(\Rightarrow x\left(x+1\right)+x\left(x-3\right)=4x\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+x^2-3x=4x\)

\(\Leftrightarrow2x^2-6x=0\)

\(\Leftrightarrow2x\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=3\end{matrix}\right.\)

 Ta thấy \(x=0\) thoả mãn ĐKXĐ, \(x=3\) không thoả mãn ĐKXĐ

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{0\right\}\).