\(a^4+4\)
\(\Leftrightarrow a^4+4a^2+4-4a^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+2\right)^2-4a^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+2\right)\left(a^2+2a+2\right)\)
\(\Rightarrow a^4+4⋮a^2-2a+2\) và \(a^4+4⋮a^2+2a+2\)
Mà \(a^4+4\) là số nguyên tố nên sẽ có một nghiệm là 1 và một nghiệm là chính nó;
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a^2+2a+2=\left(a+1\right)^2+1\ge1\\a^2-2a+2=\left(a-1\right)^2+1\ge1\end{matrix}\right.\)
Vậy có hai trường hợp xảy ra:
Trường hợp một: \(a^2+2a+2=1\Leftrightarrow a^2+2a+1=0\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2=0\Leftrightarrow a=-1\) (thỏa mãn a nguyên)
Trường hợp hai: \(a^2-2a+2=1\Leftrightarrow a^2-2a+1=0\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2=0\Leftrightarrow a=1\) (thỏa mãn a nguyên)
Thay vào ta được: \(a^4+4=\left\{{}\begin{matrix}\left(-1\right)^4+4=1+4=5\\1^4+4=1+4=5\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn, vì 5 là số nguyên tố)
Vậy \(a\in\left\{-1;1\right\}\) để \(a^4+4\) là số nguyên tố
