ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\y\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+2\sqrt{xy}=81\\x+y+3\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\right)=125\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+2\sqrt{xy}=81\\x+y+15\sqrt[3]{xy}=125\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\sqrt[6]{xy}=t>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+2t^3=81\\x+y+15t^2=125\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2t^3-15t^2+44=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=\dfrac{11+3\sqrt{33}}{4}\\t=\dfrac{11-3\sqrt{33}}{4}< 0\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(t=\dfrac{11+3\sqrt{33}}{4}\Rightarrow x+y=81-2t^3< 0\) (loại)
\(t=2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=t^6=64\\x+y=81-2t^3=65\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=64\\y=65-x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x\left(65-x\right)=64\Rightarrow x^2-65x+64=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\Rightarrow y=64\\x=64\Rightarrow y=1\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm của hệ đã cho là \(\left(x;y\right)=\left(64;1\right);\left(1;64\right)\)
Nếu bạn gặp khó với dấu căn, nếu căn thức làm bạn hoang mang, không sao. Hãy giải hệ đối xứng loại 1 sau đây: \(\left\{{}\begin{matrix}a^3+b^3=9\\a^2+b^2=5\end{matrix}\right.\) Với \(a=\sqrt[6]{x};b=\sqrt[6]{y}\)