Question

Cho hình bình hành ABCD có AB=\(\sqrt{3}\); AD=1; góc BAD=30 độ. Tính cos(\(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\)

Answer 1

Lời giải:
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên:

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$

Do đó:

\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=(\overrightarrow{AD})^2-(\overrightarrow{AB})^2=AD^2-AB^2=1-3=-2\)

Áp dụng định lý cosin:

\(BD^2=AB^2+AD^2-2.AB.AD\cos A=3+1-2.\sqrt{3}.1.\cos 30=1\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{BD}|=1\)

\(AC^2=AD^2+DC^2-2.AD.DC\cos D=AD^2+AB^2-2.AD.AB\cos 150=7\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{7}\)

Suy ra: \(\cos (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD})=\frac{\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BD}|}=\frac{-2}{\sqrt{7}}\)

Answer 2

Lời giải:
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên:

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$

Do đó:

\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=(\overrightarrow{AD})^2-(\overrightarrow{AB})^2=AD^2-AB^2=1-3=-2\)

Áp dụng định lý cosin:

\(BD^2=AB^2+AD^2-2.AB.AD\cos A=3+1-2.\sqrt{3}.1.\cos 30=1\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{BD}|=1\)

\(AC^2=AD^2+DC^2-2.AD.DC\cos D=AD^2+AB^2-2.AD.AB\cos 150=7\)

\(\Rightarrow |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{7}\)

Suy ra: \(\cos (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD})=\frac{\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BD}|}=\frac{-2}{\sqrt{7}}\)