Question

chứng minh bất đẳng thức:

a, \(\frac{a+8}{\sqrt{a-1}}\ge6\) với a > 1

b, \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\) với mọi a

giúp mình vs nhé

Answer 1

a,Có \(\frac{a+8}{\sqrt{a-1}}\ge6\) (a>1) (1)

<=> \(a+8\ge6\sqrt{a-1}\)

<=> \(a^2+16a+64\ge36a-36\)

<=> \(a^2-20a+100\ge0\)

<=> \(\left(a-10\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a)

Dấu "="xảy ra <=> a=10

=> (1) đc CM

b, Áp dụng bđt cosi với hai số dương có

\(\sqrt{a^2+1}\le\frac{a^2+1+1}{2}=\frac{a^2+2}{2}\)

=> \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge\frac{a^2+2}{\frac{a^2+2}{2}}=\frac{2\left(a^2+2\right)}{a^2+2}=2\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=0