Lời giải:
Sửa đề: \((x+y)(y+z)(x+z)\geq 2(1+x+y+z)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=9xyz\)
\(\Leftrightarrow xyz\leq \frac{(x+y+z)(xy+yz+xz)}{9}\)
Ta thực hiện biến đổi:
\((x+y)(y+z)(z+x)=xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)+2xyz\)
\(=(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz\geq (x+y+z)(xy+yz+xz)-\frac{(x+y+z)(xy+yz+xz)}{9}\)
\(\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(x+z)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+xz)\)
Theo hệ quả của BĐT AM-GM:
\((xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)=3(x+y+z)\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz\geq \sqrt{3(x+y+z)}\)
\(\Rightarrow (x+y)(y+z)(x+z)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)\sqrt{3(x+y+z)}\)
Ta sẽ cm \(\frac{8}{9}(x+y+z)\sqrt{3(x+y+z)}\geq 2(1+x+y+z)\)
Đặt \(\sqrt{3(x+y+z)}=t\). Dễ thấy \(x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3\Rightarrow t\geq 3\)
Ta cần cm \(\frac{8}{9}.\frac{t^2}{3}.t\geq 2(1+\frac{t^2}{3})\Leftrightarrow 8t^3\geq 18(3+t^2)\)
\(\Leftrightarrow (t-3)(8t^2+6t+18)\geq 0\) (luôn đúng với \(t\geq 3\))
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$