cho x,y,z>0 và x+y+z=\(\sqrt{2}\). chứng minh rằng
\(A=\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\left(\dfrac{\sqrt{y+z}}{x}+\dfrac{\sqrt{z+x}}{y}+\dfrac{\sqrt{x+y}}{z}\right)\ge4\sqrt{2}\)
Cho ba số hữu tỷ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: \(B=\sqrt{\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{\left(y-z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(z-x\right)^2}}\) là số hữu tỷ
Bài 1: CMR \(P=\dfrac{a+b}{\sqrt{a\cdot\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\cdot\left(3b+a\right)}}>=\dfrac{1}{2}\)
với a, b > 0
Bài 2: cho x, y, z > 0. CMR
\(P=\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{x+z}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}}>2\)
Bài 1 : cho x, y >0 và x2+y2=1. Tìm GTNN của \(P=\left(1+x\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{y}\right)+\left(1+y\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\)
Bài 2 : cho a, b, c > 0. CMR
\(\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{c+3a}>=\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{2b+a+c}+\dfrac{1}{2c+a+b}\)
Bài 3 : cho a, b, c, d >0. CMR
\(\dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b+d}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+d}+\dfrac{d+b}{d+a}>=4\)
từ giả thiết, ta có \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\)
đặt \(\left(\dfrac{1}{xy};\dfrac{1}{yz};\dfrac{1}{zx}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=1\) =>\(\left(\dfrac{ac}{b};\dfrac{ab}{c};\dfrac{bc}{a}\right)=\left(\dfrac{1}{x^2};\dfrac{1}{y^2};\dfrac{1}{z^2}\right)\)
ta có VT=\(\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{y^2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{z^1}}}=\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{ac}{b}}}+\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{ab}{c}}}+\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{bc}{a}}}\)
=\(\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{b+ac}{b}}}+\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{a+bc}{a}}}+\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{c+ab}{c}}}=\sqrt{\dfrac{a}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{b}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}+\sqrt{\dfrac{c}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(\le\sqrt{3}\sqrt{\dfrac{ac+ab+bc+ba+ca+cb}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=\sqrt{3}.\sqrt{\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)
ta cần chứng minh \(\sqrt{\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\le\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\dfrac{9}{4}\Leftrightarrow8\left(ab+bc+ca\right)\le9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
<=>\(8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\le9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) (luôn đúng )
^_^
\(CHO\:A\:,b,c,\:x,y,z,>0\:VA\dfrac{A}{X}=\dfrac{B}{Y}=\dfrac{C}{Z}\:CM:\:\sqrt{AX}+\sqrt{BY}+\sqrt{CZ\:}=\left(\sqrt{A+b+c\:}\right)\:\left(\sqrt{X+y+z}\right)\)
a, Giải phương trình: 2\(\left(x-\sqrt{2x^2+5x-3}\right)=1+x\left(\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x+3}\right)\)
b, Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a,b,c=1
Chứng minh rằng:\(\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\le\dfrac{1}{2}\)
Bài 1: cho a, b > 0 và a + b <= 1. CMR: \(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{2}{b^2+3ab}>=3\)
Bài 2: cho x, y, z >=0 thỏa mãn x + y + z >0. CMR: \(\dfrac{x}{4x+4y+z}+\dfrac{y}{4y+4z+x}+\dfrac{z}{4z+4x+y}< =\dfrac{1}{3}\)
Bài 3: cho x, y, z > 0 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3\)
Tìm GTNN của \(\dfrac{1}{\sqrt{2x^2+y^2+3}}+\dfrac{1}{\sqrt{2y^2+z^2+3}}+\dfrac{1}{\sqrt{2z^2}+x^2+3}\)
### Các thánh giải giùm em bài này với ###
Với các số dương x, y, z thỏa mãn \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\). Tìm Max của:
Q= \(\dfrac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}+\dfrac{y}{\sqrt{xz\left(1+y^2\right)}}+\dfrac{z}{\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}}\)
