Câu hỏi của Phương Thùy Lê

Question

cho x,y,z là cách số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$x^2+y^2+z^2+\frac{49}{x+2y+3z}$

tthnew · Accepted Answer

$VT=x^2+y^2+z^2+\frac{49}{x+2y+3z}$

$=\frac{x^2}{1}+\frac{\left(2y\right)^2}{4}+\frac{\left(3y\right)^2}{9}+\frac{49}{\left(x+2y+3z\right)}$

$\ge\frac{\left(x+2y+3z\right)^2}{14}+\frac{49}{2\left(x+2y+3z\right)}+\frac{49}{2\left(x+2y+3z\right)}$

$\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(x+2y+3z\right)^2}{14}.\frac{49}{2\left(x+2y+3z\right)}.\frac{49}{2\left(x+2y+3z\right)}}=\frac{21}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=\frac{1}{2};y=1;z=\frac{3}{2}$Câu trả lời: $VT=x^2+y^2+z^2+\frac{49}{x+2y+3z}$

$=\frac{x^2}{1}+\frac{\left(2y\right)^2}{4}+\frac{\left(3y\right)^2}{9}+\frac{49}{\left(x+2y+3z\right)}$

$\ge\frac{\left(x+2y+3z\right)^2}{14}+\frac{49}{2\left(x+2y+3z\right)}+\frac{49}{2\left(x+2y+3z\right)}$

$\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(x+2y+3z\right)^2}{14}.\frac{49}{2\left(x+2y+3z\right)}.\frac{49}{2\left(x+2y+3z\right)}}=\frac{21}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=\frac{1}{2};y=1;z=\frac{3}{2}$

§1. Đại cương về phương trình