Question

Cho tam giác đều ABC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM=AN. Chứng minh rằng:

a) Tam giác AMN là tam giác đều.

b) MN//BC.

Answer 1

Chứng minh :
a) Có △ABC đều
⇒ AB = AC = BC ( tính chất t/g đều )
\(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=60^o\)( hệ quả )
Xét △AMN có:
AM = AN ( gt )
\(\widehat{A}=60^o\) ( cmt )
⇒ △AMN đều ( hệ quả )
\(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{AMN}=\widehat{ANM}=60^o\) ( hệ quả )
b) Từ C kẻ CD // MB ; Nối B -> D
Vì CD// MB ( cách vẽ ) \(\Rightarrow\widehat{MBD}=\widehat{BDC}\left(slt\right)\)
Vì MB // DC ⇒ AM // DC
\(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{NCD}\left(slt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{NDC}\left(slt\right)\)
Mà \(\widehat{A}=60^o\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{NCD}=60^o\)(1)
Mà \(\widehat{AMN}=60^o\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{NDC}=60^o\)(2)
Xét △NDC có:
\(\widehat{NDC}+\widehat{DCN}+\widehat{CND}=180^o\left(\text{đ/l tổng 3 góc của 1 t/g}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{CND}=180^o-\widehat{DCN}-\widehat{NDC}\)
\(\Rightarrow\widehat{CND}=180^o-60^o-60^o\)
\(\Rightarrow\widehat{CND}=60^o\)(3)
Từ (1) , (2) và (3) ⇒ △NDC đều ( hệ quả )
⇒ ND = NC = CD ( tính chất t/g đều )
*) Vì M ∈ AB ⇒M nằm giữa A và B
⇒ AM + MB = AB
⇒ MB = AB - AM
Vì N ∈ AC ⇒N nằm giữa A và C
⇒ AN + NC = AC
⇒ NC = AC - AN
Mà AB = AC ( cmt ) ; AM = AN ( gt )
⇒ MB = NC mà NC = DC ( cmt )
⇒ MB = DC
Xét △MDB và △CBD có:
MB = DC ( cmt )
\(\widehat{MBD}=\widehat{BDC}\left(cmt\right)\)
BD -cạnh chung
⇒ △MDB = △CBD ( c.g.c )
⇒ \(\widehat{MDB}=\widehat{CBD}\left(\text{tương ứng}\right)\)
Mà \(\widehat{MDB}\text{ và }\widehat{CBD}\) là hai góc so le trong
⇒ MD // BC ( dấu hiệu nhận biết )

Answer 2

Xét \(\Delta AMN\) có :

AM = AN (gt)

=> \(\Delta AMN\)cân tại A

Ta có : \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABC\) là tam giác đều có :

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\right)\)

Do đó : \(MN//BC\left(đpcm\right)\)

Xét \(\Delta AMN\) có:

\(\widehat{AMN}=\widehat{MAN}=\widehat{ANM}\left(\widehat{ABC}=\widehat{BAC}=\widehat{ACB}\right)\)

=> \(\Delta AMN\) là tam giác đều => đpcm

Answer 3

a Xét \(\Delta AMN\) có :

AM = AN (gt)

Vì \(\Delta ABC\) là tam giác đều

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=60^0\)

\(\Rightarrow\Delta AMN\) là tam giác đều

b Vì \(\Delta AMN\) là tam giác đều

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=60^0\)

Vì \(\Delta ABC\) là tam giác đều

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=60^0\)

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)

\(\Rightarrow\) MN // BC (đồng vị)