Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh BC.Gọi D là điểm đối xứng vs M qua AB. Gọi E là điểm đối xứng vs M qua AC. Chứng minh:

a. điểm D đối xứng vs E qua A

b.BD song song vs CE

c. điểm M ở vị trí nào trên BC thì đoạn DE có độ dài nhỏ nhất

Answer 1

Bổ sung đề; AM vuông góc BC

a: Ta có: M và D đối xứng nhau qua AB

nên AM=AD
=>ΔAMD cân tại A

=>AB là phân giác của góc MAD(1)

Ta có: M và E đối xứng nhau qua AC

nên AM=AE
=>ΔAME cân tại A

=>AC là phân giác của góc MAE(2)

Từ (1) và (2) suy ra góc DAE=2x90=180 độ

=>D,A,E thẳng hàng

mà AD=AE
nên A là trung điểm của DE

b: Xét ΔAMB và ΔADB có

AM=AD

MB=DB

AB chung

Do đó: ΔAMB=ΔADB

Suy ra: góc ADB=90 độ

hay BD vuông góc với DE(3)

Xét ΔAMC và ΔAEC có

AM=AE

MC=EC

AC chung

Do đó: ΔAMC=ΔAEC

Suy ra: góc AEC=90 độ

=>CE vuông góc với ED(4)

Từ (3) và (4) suy ra BD//CE