1) Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
mà AH là đường cao ứng với cạnh đáy BC(gt)
nên AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(Định lí tam giác cân)
⇔H là trung điểm của BC
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(cmt)
nên \(AH=\frac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(BH=\frac{BC}{2}\)(H là trung điểm của BC)
nên AH=BH
Xét tứ giác AHBE có
M là trung điểm của đường chéo AB(gt)
M là trung điểm của đường chéo EH(E và H đối xứng nhau qua M)
Do đó: AHBE là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AHBE có \(\widehat{AHB}=90^0\)(AH⊥BC)
nên AHBE là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Hình chữ nhật AHBE có AH=BH(cmt)
nên AHBE là hình vuông(Dấu hiệu nhận biết hình vuông)
2) Xét ΔABC có
H là trung điểm của BC(cmt)
M là trung điểm của AB(gt)
Do đó: HM là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của ΔABC)
⇒HM//AC và \(HM=\frac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
mà E∈MH(gt) và \(HM=\frac{HE}{2}\)(H và E đối xứng nhau qua M)
nên HE//AC và HE=AC
Xét tứ giác AEHC có HE//AC(cmt) và HE=AC(cmt)
nên AEHC là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
3) Ta có: AEHC là hình bình hành(cmt)
nên AEHC là hình thang có hai đáy là EA và HC
Xét hình thang AEHC(EA//HC) có
M là trung điểm của EH(E và H đối xứng nhau qua M)
N là trung điểm của AC(gt)
Do đó: MN là đường trung bình của hình thang AEHC(Định nghĩa đường trung bình của hình thang)
⇒MN//EA//HC và \(MN=\frac{EA+HC}{2}\)(Định lí 4 về đường trung bình của hình thang)
Ta có: AEHC là hình bình hành(cmt)
⇔Hai đường chéo AH và EC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)
mà AH cắt EC tại O(gt)
nên O là trung điểm của EC
Xét ΔECA có
O là trung điểm của EC(cmt)
N là trung điểm của AC(gt)
Do đó: ON là đường trung bình của ΔECA(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒ON//EA và \(ON=\frac{EA}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
Ta có: MN//EA(cmt)
mà ON//EA(cmt)
và MN và ON có điểm chung là N
nên M,O,N thẳng hàng(đpcm)