Hình: Tự vẽ.
a) Ta có: \(\widehat{HCB}=\widehat{CBD}\) ( vì cùng phụ với \(\widehat{ABC}\) )
=> HC // BD (1)
Lại có: \(\widehat{BCD}=\widehat{HBC}\) ( vì cùng phụ với \(\widehat{ACB}\) )
=> BH // CD (2)
Từ (1), (2) => BHCD là hình bình hành
b) Theo đề ra, ta có: \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o\) và hai góc này cùng chắn cung BC)
=> BFEC nội tiếp
c) Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta AFC\) có:
\(\widehat{BAC}:chung\)
\(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^o\)
=> \(\Delta AEB\) ~ \(\Delta AFC\left(g.g\right)\)
=> \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\Leftrightarrow AE\cdot AC=AF\cdot AB\left(đpcm\right)\)
d) +) Ta có: HCBD là hình bình hành
=> HD, BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà M lại là trung điểm của BC
=> H, M, D thẳng hàng.
+) Xét \(\Delta AHD\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AO=OD\\HM=MD\end{matrix}\right.\)
=> OM là đường trung bình của \(\Delta AHD\)
=> \(OM=\dfrac{1}{2}AH\left(đpcm\right)\)