Vì \(\Delta ABC\) đều (gt)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}AB=BC=CA\\\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}\end{matrix}\right.\) (t/c tam giác đều)
Ta có: AD + DB = AB (D \(\in\) AB)
BE + EC = BC (E \(\in\) BC)
CF + FA = CA (F \(\in\) CA)
mà AD = BE = CF (gt)
AB = BC = CA (cmt)
do đó DB = EC = FA
Xét \(\Delta ADF\), \(\Delta BED\) và \(\Delta CFE\) có:
AD = BE = CF (cmt)
\(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}\) (cmt)
DB = EC = FA (cmt)
=> \(\Delta ADF\) = \(\Delta BED\) = \(\Delta CFE\) (c.g.c)
=> DF = DE = EF (các cạnh tương ứng)
=> \(\Delta DEF\) đều (dhnb)
-Ta có: AD+DB=AB
BE+EC=BC
CF+FA=CA
Mà AD=BE=CF
AB=BC=CA ( tam giác ABC đều)
=> DB=EC=FA
-Xét tam giác DBE và tam giác ECF có:
DB=EC (cm)
BE=FC (GT)
góc B=góc C (tam giác ABC đều)
=> tam giác DBE=tam giác ECF (c.g.c)
=> DE=EF (2 cạnh tương ứng) (1)
-Xét tam giác AFD và tam giác BDE có:
AF=BD (cmt)
góc A=góc B (tam giác ABC đều)
AD=BE (GT)
=> tam giác AFD= tam giác BDE (c.g.c)
=> FD=DE (2 cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) ta có:
DE=EF=DF
=> DEF là tam giác đều.
