Question

Cho tam giác ABC cân tại A, trên tia đối của tia AC lấy điểm M, trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AM= AN.

Chứng minh tứ giác BCNM là hình thang cân

Answer 1

- xét Δ ABC cân tại A có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\\\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0\end{matrix}\right.\)

=> \(2\widehat{ACB}=180^0-\widehat{BAC}\)

=> \(\widehat{ACB}=\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\) (1)

+ Δ AMN có : AM = AN ( gt)

=> Δ AMN cân tại A

- xét Δ AMN cân tại A có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\\\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0\end{matrix}\right.\)

=> \(2\widehat{ACB}=180^0-\widehat{BAC}\)

=> \(\widehat{ACB}=\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\) (2)

Ta có: \(\widehat{MAN}=\widehat{BAC}\) ( đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2) và (3) => \(\widehat{ACB}=\widehat{AMN}\)

=> MN//BC ( 2 góc ở vị trí sole trong)

=> BCNM là hình thang

Mặt Khác ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AM=AN\left(gt\right)\\AB=AC\end{matrix}\right.\)

=> AM + AC = AN + AB

⇔ MC = BN

Vậy BCNM là hình thang cân ( Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân)