a)Ta có:
△ABC cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(1\right)\)
Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{MBH}\left(2\right)\) ; \(\widehat{ACB}=\widehat{NCK}\left(3\right)\) (đối đỉnh)
Từ (1); (2) và (3)
\(\Rightarrow\widehat{MBH}=\widehat{NCK}\)
Xét △MBH vuông tại H và △NCK vuông tại K có:
\(MB=NC\left(gt\right)\)
\(\widehat{MBH}=\widehat{NCK}\left(cmt\right)\)
⇒△MBH = △NCK (cạnh huyền-góc nhọn)
\(\Rightarrow BH=CK\left(đpcm\right)\)
b)Ta có:
△ABC cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow180^0-\widehat{ABC}=180^0-\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)
Xét △ABH và △ACK có:
\(AB=AC\left(gt\right)\)
\(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\left(cmt\right)\)
\(BH=CK\)(câu a)
⇒△ABH = △ACK (cgc)
\(\Rightarrow AH=AK\)(2 cạnh tương ứng)
⇒△AHK cân tại A (đpcm)
c)Ta có:
△ABC cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\left(4\right)\)
Lại có:
\(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\BM=CN\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow AB+BM=AC+CN\)
\(\Rightarrow AM=AN\)
⇒△AMN cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ANM}=\frac{180^0-\widehat{MAN}}{2}\left(5\right)\)
Từ (4) và (5) \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\)\(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\) hay \(\widehat{ABC}=\widehat{AMN}\) mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên BC//MN hay HK//MN (đpcm) Ta lại có: \(\widehat{NKH}+\widehat{MHK}=90^0+90^0=180^0\) mà 2 góc này ở vị trí trong cùng phía nên KN//HM Ta chứng minh được △KMN= △MKH (gcg) ⇒MN=KH (đpcm)