Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi CM, BK lần lượt là 2 đường trung tuyến
a. Tính MK biết BC= 28cm
b. BK cắt CM tại G. Gọi D và F lần lượt là trung điểm của GB và GC. CM: tứ giác DMKF là hình chữ nhật
c. AM cắt BC tại O và E là điểm đối xứng A qua O. Tứ giác ABEC là hình gì ? Tại sao?
d. Kẻ tia KX và MY cùng // AE và lần lượt cắt BE và CE lần lượt tại H và I. CM: tứ giác MKIH là hình chữ nhật
e. Tam giác ABC có điều kiện gì để tứ giác MHIK là hình vuông
a) Ta có: CM là đường trung tuyến ứng với cạnh AB trong ΔABC(gt)
nên M là trung điểm của AB
Ta có: BK là đường trung tuyến ứng với cạnh AC trong ΔABC(gt)
nên K là trung điểm của AC
Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB(cmt)
K là trung điểm của AC(cmt)
Do đó: MK là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒MK//BC và \(MK=\frac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)
Ta có: \(MK=\frac{BC}{2}\)(cmt)
mà BC=28cm
nên \(MK=\frac{28}{2}=14cm\)
Vậy: MK=14cm
b) Xét ΔGBC có
D là trung điểm của GB(gt)
F là trung điểm của GC(gt)
Do đó: DF là đường trung bình của ΔGBC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒DF//BC và \(DF=\frac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)
Từ (1) và (2) suy ra DF//MK và DF=MK
Xét tứ giác DFKM có DF//MK(cmt) và DF=MK(cmt)
nên DFKM là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Xét ΔABC có
BK là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(gt)
CM là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(gt)
BK\(\cap\)CM={G}
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC(Định nghĩa trọng tâm của tam giác)
⇒AG là đường trung tuyến ứng với cạnh BC
Xét ΔABC cân tại A có AG là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC(cmt)
nên AG là đường phân giác ứng với cạnh BC trong ΔABC(Định lí tam giác cân)
⇒\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\)
Xét ΔABG và ΔACG có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\)(cmt)
AG chung
Do đó: ΔABG=ΔACG(c-g-c)
⇒GB=GC(hai cạnh tương ứng)
mà \(GD=\frac{GB}{2}\)(D là trung điểm của GB)
và \(GF=\frac{GC}{2}\)(F là trung điểm của GC)
nên GD=GF
Ta có: BK\(\cap\)CM={G}
mà D∈BK
và F∈CM
nên DK\(\cap\)MF={G}
Ta có: MKFD là hình bình hành(cmt)
nên hai đường chéo DK và MF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)
mà DK\(\cap\)MF={G}
nên G là trung điểm chung của DK và MF
⇒\(GD=\frac{DK}{2}\) và \(GF=\frac{MF}{2}\)
mà GD=GF
nên DK=MF
Xét hình bình hành MKFD có DK=MF(cmt)
nên MKFD là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
c) Sửa đề: AG cắt BC tại O
Ta có: AG là đường trung tuyến ứng với cạnh BC trong ΔABC(cmt)
mà AG\(\cap\)BC={O}(gt)
nên O là trung điểm của BC
Xét tứ giác ABEC có
O là trung điểm của đường chéo BC(cmt)
O là trung điểm của đường chéo AE(A và E đối xứng nhau qua O)
Do đó: ABEC là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành ABEC có AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên ABEC là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)
d) Ta có: MI//AE(gt)
KH//AE(gt)
Do đó: MI//KH(Định lí 3 từ vuông góc tới song song)
Xét ΔABE có
M là trung điểm của AB(cmt)
MI//AE(gt)
Do đó: I là trung điểm của BE(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
Xét ΔABE có
M là trung điểm của AB(cmt)
I là trung điểm của BE(cmt)
Do đó: MI là đường trung bình của ΔABE(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒\(MI=\frac{AE}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(3)
Xét ΔCAE có
K là trung điểm của AC(cmt)
KH//AE(gt)
Do đó: H là trung điểm của CE(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
Xét ΔCAE có
K là trung điểm của AC(cmt)
H là trung điểm của CE(cmt)
Do đó: HK là đường trung bình của ΔCAE(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒\(HK=\frac{AE}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(4)
Từ (3) và (4) suy ra MI=KH
Xét tứ giác MIHK có MI//KH(cmt) và MI=KH(cmt)
nên MIHK là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Ta có: MK//BC(cmt)
AE⊥BC(hai đường chéo trong hình thoi ABEC)
Do đó: MK⊥AE(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)
Ta có: MK⊥AE(cmt)
AE//KH(gt)
Do đó: MK⊥KH(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)
hay \(\widehat{MKH}=90^0\)
Hình bình hành MIHK có \(\widehat{MKH}=90^0\)(cmt)
nên MIHK là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
