Question

cho tam giác ABC cân tại A gọi BD và CE là 2 đường trung tuyến cắt nhau tại g goi mn lần lượt là trung điểm của BG và CG

chứng minh : tứ giác MNDE là hình thang cân

Answer 1

Xét ΔBAC có

BD là đường trung tuyến

CE là đường trung tuyến

BD cắt CE tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔBAC

=>AG là đường trung tuyến ứng với cạnh BC

Ta có; ΔABC cân tại A

mà AG là đường trung tuyến

nên AG là đường cao

=>AG\(\perp\)BC

Xét ΔABC có 

E là trung điểm của AB

D là trung điểm của AC

Do đó; ED là đường trung bình

=>ED//BC và ED=BC/2(1)

Xét ΔGBC có

M là trung điểm của GB

N là trung điểm của GC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//BC và MN=BC/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra ED//MN và ED=MN

hay EDNM là hình bình hành

Xét ΔABD và ΔACE có 

AB=AC

góc BAD chung

AD=AE

Do đó:ΔABD=ΔACE

Suy ra: BD=CE

Ta có: G là trọng tâm của ΔABC

nên BG=2/3BD; CG=2/3BD

=>BG=CG

=>GD=GE

GM=GB/2(M là trung điểm của GB)

GN=GC/2(N là trung điểm của GC)

Do đó: GM=GN

GM+GD=DM

GN+GE=EN

mà GM=GN

và GD=GE

nên DM=EN

Hình bình hànhEDNM có DM=EN

nên EDNM là hình chữ nhật

hay EDNM là hình thang cân