\(1,\left\{{}\begin{matrix}AM=MB\\AN=NC\end{matrix}\right.\Rightarrow MN\) là đtb \(\Delta ABC\Rightarrow MN=\dfrac{1}{2}BC.hay.2MN=BC\)
\(2,\) Vì \(MN//BC\left(t/c.đtb\right)\Rightarrow MNCB\) là hình thang
Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(\Delta ABC.cân\right)\)
\(\Rightarrow MNCB\) là hthang cân
\(3,\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MNO}=\widehat{OCB}\\\widehat{NMO}=\widehat{OBC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta MNO\sim\Delta COB\left(g.g\right)\\ \Rightarrow\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{MO}{OC}\Rightarrow\dfrac{2MI}{2CK}=\dfrac{MO}{OC}\Rightarrow\dfrac{MI}{CK}=\dfrac{MO}{OC}\)
Lại có \(\widehat{IMO}=\widehat{OCK}\left(so.le.trong\right)\)
\(\Rightarrow\Delta IMO\sim\Delta KCO\left(c.g.c\right)\)
Do đó \(\widehat{MOI}=\widehat{KOC}\Rightarrow I;O;K\) thẳng hàng \(\left(1\right)\)
Chứng minh tương tự, ta được \(\Delta MAI\sim\Delta BAK\Rightarrow\widehat{AHE}=\widehat{BHF}\Rightarrow A;I;K\) thẳng hàng \(\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow A;I;O;K\) thẳng hàng
1) Xét ΔABC cân tại A, có:
M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC
⇒ MN là đường trung bình ΔABC
⇒ MN = 1/2BC ⇒ BC = 2MN (ĐPCM)
2) Xét tứ giác MNCB, có:
MN // BC(MN là đường trung bình)
MB = NC (do AB = AC và M, N là trung điểm AB, AC)
⇒ MNCB là hình thang.
mà:
\(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\) (do ΔABC cân tại A)
⇒ MNCB là hình thang cân.
d. Xét ΔAMN, có:
\(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\) (đồng vị so với \(\widehat{ABC},\widehat{ACB}\))
⇒ ΔAMN cân tại A, mà AI ⊥ MN (do MN là cạnh đáy, I là trung điểm MN) ⇒ A,I thẳng hàng
Chứng minh tương tự cho tam giác ABC với BC là cạnh đáy có K là trung điểm, ta được A, I, K thẳng hàng (1)
Có ΔMON cân, do \(\widehat{ONM}=\widehat{OMN}\) vì \(\widehat{BMN}=\widehat{CNM}\) ⇒ OI thẳng hàng do I là trung điểm cạnh đáy MN của tam giác cân. (2)
Từ (1) và (2) ⇒ A, I, O, K thẳng hàng.