Tham khảo cùng dạng toán :
a) Ta có: MD⊥AB(giả thiết)
và AC⊥AB( ΔABC vuông tại A)
⇒MD//AC (1)
Có: DA⊥AC( ΔABC vuông tại A)
và ME⊥AC (giả thiết)
⇒ DA//ME (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
ADME là hình bình hành (Có các cạnh đối // )
Hình bình hành ADME có ∠A=90°
⇒ADME là hình chữ nhật ( Hình bình hành có một góc vuông) (Điều phải chứng minh)
b) Ta có đường thẳng MD đi qua trung điểm M của BC (giả thiết) và // với AC ( Từ ADME là hình chữ nhật)
⇒ MD đi qua trung điểm D của AB
⇒ D là trung điểm của AB (3)
Từ (3) và ID=MD (I đối xứng với M qua D)
⇒ Hai đường chéo AB và IM cắt nhau tại tại trung điểm D của mỗi đường
⇒AMBI là hình bình hành (4)
Trong Δ vuông ABC có đường trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC
⇒ AM=1/2 BC
mà BM=CM ( AM là đường trung tuyến)
⇒AM=BM (5)
Từ (4) và (5) suy ra:
AMBI là hình thoi ( Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau)
c) Hình thoi AMBI là hình vuông
⇔ ∠AMB =90°
⇔ AM⊥BC hay AM vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của Δ ABC
⇔ Δ ABC cân tại A
Vậy ΔABC là Δ vuông cân tại A thì tứ giác AMBI là hình vuông
d) Xét tứ giác APHQ có:
∠HPA = 90° (HP⊥AB) ; ∠PAQ=90°(Δ ABC cân tại A); ∠HQA=90° (HQ⊥AC)
⇒ APHQ là hình chữ nhật ( Tứ giác có 3 góc vuông) (6)
Xét ΔPHQ và ΔEAP có:
PH=AQ ( APHQ là hình chữ nhật)
∠PHQ = ∠QAE (APHQ là hình chữ nhật)
HQ=PA (APHQ là hình chữ nhật)
⇒ΔPHQ = ΔEAP (c.g.c)
⇒AP=PH (hai cạnh tương ứng) (7)
Từ (6) và (7) suy ra:
APHQ là hình vuông
⇒PQ⊥AM (Điều phải chứng minh)