Cho tam giác ABC cân. AD là tia phân giác của góc BAC.
a) Chứng minh: Tam giác ABD=tam giác ACD và AD vuông BC
b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM=CN. Chứng minh góc ABM=góc ACN
c) Chứng minh: tam giác AMN cân
d) Kẻ BH vuông AM( H thuộc AM), CK vuông A(K thuộc AN). Chứng minh: AH=AK
e) Gọi O là giao điểm của BH và CK. Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao?
f) Chứng minh: Ba điểm A,D,O thẳng hàng
a)Xét △BAD và △CAD có:
BA=CA(gt)
\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\left(gt\right)\)
AD chung
⇒△BAD = △CAD (cgc)
\(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=90^0\)
⇒AD⊥BC (đpcm)
b)Ta có:
△ABC cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\Rightarrow180^0-\widehat{ABC}=180^0-\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\left(đpcm\right)\)
c)Xét △ABM và △ACN có:
AB=AC(gt)
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\left(cmt\right)\)
BM=CN (gt)
⇒△ABM = △ACN (cgc)
\(\Rightarrow AM=AN\)(2 cạnh tương ứng)
⇒△AMN cân tại A (đpcm)
d)Từ △AMN cân tại A (câu c)
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\) hay \(\widehat{HMB}=\widehat{KNC}\)
Xét △HMB vuông tại H và △KNC vuông tại K có:
MB=NC (gt)
\(\widehat{HMB}=\widehat{KNC}\)(cmt)
⇒△HMB =△KNC (cạnh huyền- góc nhọn)
\(\Rightarrow HM=KN\)( 2cạnh tương ứng)
Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}AM=AN\\HM=KN\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow AM-HM=AN-KN\)
\(\Rightarrow AH=AK\left(đpcm\right)\)
e) Từ △HMB =△KNC (câu d)
\(\Rightarrow\widehat{HBM}=\widehat{KCN}\) (2 góc tương ứng)
mà \(\widehat{HBM}=\widehat{OBC}\) ; \(\widehat{KCN}=\widehat{OCB}\) (đối đỉnh)
\(\Rightarrow\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)
⇒△OBC cân tại O
f)Xét △ACO và △ABO có:
AC=AB (gt)
CO=BO (△OBC cân tại O)
AO chung
⇒△ACO =△ABO (ccc)
\(\Rightarrow\widehat{CAO}=\widehat{BAO}\) (2 góc tương ứng)
⇒AO là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (1)
Lại có :AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow A,D,O\) thẳng hàng (đpcm)