a) Xét \(\Delta ABC\) có :
AP = BP ; AN = CN
=> PN là đường trung bình \(\Delta ABC\)
=> PN // BC (1)
Có PN // BC ; AH \(\perp\) BC
=> PN \(\perp\) AH
Xét \(\Delta ABH\) vuông tại H có đường trung tuyến HP ứng với cạnh huyền AB
=> AP = BP = 1/2 AB
=> \(\Delta APH\) cân tại P
mà PN là đường cao
=> PN là trung trực của AH
b) Gọi I là giao điểm của AH và PN
Có PN là trung trực của AH
=> AI = HI
Xét \(\Delta ABH\) có :
AP = BP ; AI = HI
=> PI là đường trung bình \(\Delta ABH\)
=> PI // BH
=> \(\widehat{API}=\widehat{ABH}\)
mà \(\widehat{HPI}=\widehat{API}\) (vì \(\Delta APH\) cân mà PI là đường cao => PI là phân giác )
=> \(\widehat{HPI}=\)\(\widehat{ABH}\) (2)
Có PN là đường trung bình \(\Delta ABC\)
=> PN = 1/2 BC = BM
Có : BM = PN ; PN // BM
=> Tứ giác BPNM là hình bình hành
=> \(\widehat{PNM}=\widehat{ABH}\) (3)
Từ (2) và (3) => \(\widehat{HPI}=\widehat{MNI}\) ( 4)
Từ (1) và (4) => Tứ giác MNPH là hình thang cân ( đpcm )