Question

Cho tam giác ABC (AB<AC) có đường cao AH. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB

a: Chứng minh NP là đường trung trực của AH

b: chứng minh MNPH là hình thang cân

Answer 1

a, Cọi I là giao điểm của AH và NP

Xét \(\Delta ABC\) ,có :

\(AN=NC,AP=PB\)

\(\Rightarrow NP\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow NP\) // BC

Mà \(AH\perp BC\Rightarrow\) AH \(\perp\) NP (1)

+ Xét \(\Delta ABH,\) có :

\(AP=PB,\) PI // BH ( vì PN // BC )

\(\Rightarrow AI=IH\) (2)

Từ (1) (2) => NP là đường trung trực của AH

b, Xét \(\Delta ABC\) ,có :

BM = MC ,AP=PB

=> PM là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

=> PM =1/2AC (3)

+ \(\Delta AHC\) vuông tại H :

HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC => HN = 1/2AC (4)

Từ (3)(4) => PM = HN

+ Xét tứ giác HMPN ,có :

PN // HM => tứ giác HMPN là hình thang

lại có : PM = HN ( c/m t ) => tứ giác HMPN là hình thang cân

Answer 2

a, Cọi K là giao điểm của AH và NP

Xét \(\Delta ABC\) ,có :

\(AN=NC,AP=PB\)

\(\Rightarrow NP\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow NP\) // BC

Mà \(AH\perp BC\Rightarrow\) AH \(\perp\) NP (1)

+ Xét \(\Delta ABH,\) có :

\(AP=PB,\) PK // BH ( vì PN // BC )

\(\Rightarrow AK=KH\) (2)

Từ (1) (2) => NP là đường trung trực của AH

b, Xét \(\Delta ABC\) ,có :

BM = MC ,AP=PB

=> PM là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

=> PM =1/2AC (3)

+ \(\Delta AHC\) vuông tại H :

HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC => HN = 1/2AC (4)

Từ (3)(4) => PM = HN

+ Xét tứ giác HMPN ,có :

PN // HM => tứ giác HMPN là hình thang

lại có : PM = HN ( c/m t ) => tứ giác HMPN là hình thang cân