Trong trường hợp d nằm giữa 2 tia AB và AC thì ta dễ dàng chứng minh \(d\left(B;d\right)+d\left(C;d\right)\) đạt max khi d trùng đường cao kẻ từ A của tam giác ABC
Trong trường hợp này \(d\left(B;d\right)+d\left(C;d\right)=BC\)
Xét trường hợp d nằm ngoài 2 tia AC và AB
Gọi M là trung điểm BC, hạ BH, CK, MP vuông góc d
\(\Rightarrow d\left(B;d\right)+d\left(C;d\right)=BH+CK=2MP\)
Do đó tổng đạt max khi MP max khi khoảng cách từ M đến d đạt max
Mà theo định lý đường xiên - đường vuông góc thì \(MP\le MA\Rightarrow MP_{max}=MA\) khi \(AM\perp d\)
Trong trường hợp này \(d\left(B;d\right)+d\left(C;d\right)=2AM\)
Ta có: \(M\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\Rightarrow\overrightarrow{MA}=\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)\Rightarrow2AM=\sqrt{10}\)
\(\overrightarrow{CB}=\left(5;-7\right)\Rightarrow BC=\sqrt{74}\)
So sánh 2 giá trị ta thấy \(d\left(B;d\right)+d\left(C;d\right)\) đạt max trong trường hợp thứ nhất, tức là \(d\perp BC\)
Đến đây chắc vấn đề vô cùng đơn giản :D
