\(\text{Δ}=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4m\)
\(=m^2+2m+1-4m=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0
=>(m-1)^2>0
=>m-1<>0
=>m<>1
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m+1\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m\end{matrix}\right.\)
Để x1,x2 là độ dài hai cạnh góc vuông có cạnh huyền bằng \(\sqrt{2}\) thì \(x_1^2+x_2^2=2\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=2\)
=>\(\left(m+1\right)^2-2m=2\)
=>\(m^2+1=2\)
=>\(m^2=1\)
=>\(\begin{matrix}m=1\left(loại\right)\\m=-1\left(nhận\right)\end{matrix}\)
\(x^2-\left(m+1\right)x+m=0\\ \Delta=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4.1.m=m^2+2m+1-4m=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\)
có hai nghiệm phân biệt : \(\Delta>0\Rightarrow\left(m-1\right)^2>0\Rightarrow m\ne1\)
\(x^2_1+x^2_2=\left(\sqrt{2}\right)^2\\ \Leftrightarrow x^2_1+2x_1x_2+x^2_2-2x_1x_2=2\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=2\)
Áp dụng vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_1=m+1\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(m+1\right)^2-2m=2\\ \Leftrightarrow m^2+2m+1-2m-2=0\\ \Leftrightarrow m^2-1=0\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\left(t/m\right)\\m=1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy \(m=-1\)
\(\Delta=\left(m+1\right)^2-4m=\left(m-1\right)^2>0;\forall m\)
\(\Rightarrow\) Pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+1\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)
Vì x1, x2 là độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác có cạnh huyền bằng \(\sqrt{2}\) nên:
\(x_1^2+x_2^2=\left(\sqrt{2}\right)^2\) (theo đli Pythagore)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=2\)
\(\Rightarrow\left(m+1\right)^2-2m=2\)
\(\Leftrightarrow m^2+1=2\)
\(\Leftrightarrow m^2=1\)
\(\Leftrightarrow m=\pm1\)
\(\text{#}Toru\)