Question

Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi E, F theo thứ tự là các hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng:

a) BM vuông góc với EF

b) Các đường thẳng BM, AF, CE đồng quy.

Answer 1

Gọi K là giao điểm của EM và BC

H là giao điểm của BM và EF

a) + Hình chữ nhật MKCF có CM là tia phân giác của góc KCF

=> Tứ giác MKCF là hình vuông => MK = MF

+ Tương tự ME = BK

Δ EMF = Δ BKM ( c.g.c )

=> \(\widehat{MFE}=\widehat{KMB}\)

=> \(\widehat{KMB}+\widehat{HMF}=\widehat{MFE}+\widehat{HMF}\)

=> \(\widehat{MFE}+\widehat{HMF}=90^o\)

=> \(\widehat{MHF}=90^o\Rightarrow BM\perp EF\)

b) Δ ADF = Δ BAE ( c.g.c )

=> \(\widehat{DAF}=\widehat{ABE}\)

=> \(\widehat{DAF}+\widehat{AEB}=\widehat{ABE}+\widehat{AEB}\)

=> \(\widehat{DAF}+\widehat{AEB}=90^o\)

=> AF ⊥ BE

+ Tương tự : CE ⊥ BF

+ Xét Δ BEF có FA, EC, BH là các đường cao

=> AF, CE, BH đồng quy