Tự vẽ hình
a) + Chứng minh PB = QH
Gọi giao điểm của HK và AB là K, giao điểm của PB và QH là I
Xét tứ giác AKPQ, ta có:
\(\widehat{DAC}=90^0\) ( do hình vuông ABCD )
\(\widehat{AQP}=90^0\) ( do Q là hình chiếu của P lên AD )
\(\widehat{AKP}=90^0\) ( do AB // CD, góc AKP và góc PHD là hai góc trong cùng phía )
=> AKPQ là hình chữ nhật
Mà AC là tia phân giác góc BAD ( vì AC là đường chéo của hình vuông ABCD )
=> AKPQ là hình vuông
=> AQ = AK
Mà AB = AD ( do hình vuông ABCD )
=> AB - AK = AD - AQ
=> BK = QD
Xét tứ giác QPHD, ta có:
\(\widehat{PQD}=90^0\) ( do Q là hình chiếu của P lên AD )
\(\widehat{ADC}=90^0\) ( do hình vuông ABCD )
\(\widehat{PHD}=90^0\) ( do H là hình chiếu của P lên DC )
=> QPHD là hình chữ nhật
=> PH = QD
Mà QD = BK (cmt)
=> PH = BK
Xét tam giác BKP và tam giác HPQ
Ta có: PH = BK (cmt)
Góc HPQ = Góc PKB ( = 90 độ )
QP = KP ( do hình vuông AKPQ )
=> Tam giác BKP = Tam giác HPQ ( c-g-c )
=> PB = QH ( Hai cạnh tương ứng )
+ Chứng minh PB vuông góc với QH
Ta có: \(\widehat{PBK}=\widehat{PHQ}\) ( do hai tam giác BKP và HPQ bằng nhau )
Và \(\widehat{IPH}=\widehat{KPB}\) ( đối đỉnh )
=> \(\widehat{PBK}+\widehat{KPB}=\widehat{PHQ}+\widehat{IPH}\)
\(\Rightarrow90^0=\widehat{PHQ}+\widehat{IPH}\)
\(\Rightarrow\widehat{PIH}=90^0\)
Vậy PB vuông góc với QH
b) Vì QA = QP ( do hình vuông AKPQ )
Mà QP = DH ( do hình chữ nhật QPHD )
=> AQ = HD
Xét tam giác ABQ và tam giác DAH
Ta có: AQ = DH ( cmt )
Góc QAB = Góc QDH ( = 90 độ )
AQ = AB ( do hình vuông ABCD )
=> Tam giác ABQ = Tam giác DAH ( c-g-c )
=> \(\widehat{QAH}=\widehat{ABQ}\)
\(\Rightarrow\widehat{QAH}+\widehat{AQB}=\widehat{ABQ}+\widehat{AQB}\)
\(\Rightarrow\widehat{QAH}+\widehat{AQB}=90^0\)
=> AH vuông góc với BQ
=> AH là đường cao của tam giác QBH
Tương tự xét hai tam giác BHC và QDC bằng nhau rồi lập luận như trên
=> QC là đường cao của tam giác QBH
Mà PB vuông góc với QH
=> PB là đường cao của tam giác QBH
=> AH, QC, PB đồng quy
