Question

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M là điểm bất kỳ trong hình vuông đó. Chứng minh rằng MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2 >=2

Answer 1

Lời giải:

Qua $M$ kẻ $EF\perp AB, CD$ với $E\in AB, F\in DC$

Dễ thấy $AEFD$ và $EBCF$ là hình chữ nhật do có 4 góc vuông.

Do đó $AE=DF; EB=CF; EF=AD=BC$

Áp dụng định lý Pitago ta có:

\(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=AE^2+EM^2+EB^2+EM^2+CF^2+MF^2+DF^2+MF^2\)

\(=(AE^2+DF^2)+(EB^2+CF^2)+2EM^2+2FM^2\)

\(=2AE^2+2BE^2+2EM^2+2MF^2=2[(AE^2+BE^2)+(EM^2+MF^2)]\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=2(AE^2+BE^2)+2(EM^2+MF^2)\geq (AE+BE)^2+(MF+EM)^2\)

\(=AB^2+EF^2=AB^2+AD^2=2\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $M$ là tâm hình vuông.

Answer 2

Hình vẽ: