a) Gọi N là trung điểm của BC
Xét hình thang ABCD(AB//CD) có
M là trung điểm của AD(gt)
N là trung điểm của BC(theo cách gọi)
Do đó: MN là đường trung bình của hình thang ABCD(Định nghĩa đường trung bình của hình thang)
⇒MN//AB//DC và \(MN=\frac{AB+CD}{2}\)(Định lí 4 về đường trung bình của hình thang)
Ta có: MN//DC(cmt)
\(\Rightarrow\widehat{CMN}=\widehat{MCD}\)(hai góc so le trong)
mà \(\widehat{MCD}=\widehat{MCN}\)(CM là tia phân giác của \(\widehat{BCD}\))
nên \(\widehat{NMC}=\widehat{NCM}\)
Xét ΔMNC có \(\widehat{NMC}=\widehat{NCM}\)(cmt)
nên ΔMNC cân tại N(Định lí đảo của tam giác cân)
⇒MN=NC
mà \(NC=\frac{BC}{2}\)(N là trung điểm của BC)
nên \(MN=\frac{BC}{2}\)
Xét ΔBMC có
MN là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(N là trung điểm của BC)
\(MN=\frac{BC}{2}\)(cmt)
Do đó: ΔBMC vuông tại M(Định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
⇒\(\widehat{BMC}=90^0\)(đpcm1)
b) Ta có: \(MN=\frac{BC}{2}\)(cmt)
\(\Leftrightarrow BC=2\cdot MN\)
\(\Leftrightarrow BC=2\cdot\frac{AB+CD}{2}\)
hay \(BC=AB+CD\)(đpcm2)