Question

cho đường tròn tâm O,kẻ các đường kính khác nhau AB và EF .Tiếp tuyến tại B của đường tròn cắt các tia AE,AF lần lượt tại H, K.Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt HK tại M

a, Tứ giác AEBF là hình gì? vì sao?

b, Chứng minh tứ giác EFKH nội tiếp

c, Chứng minh AM là đường trung tuyến của tam giác AHK

giúp mih với mih đag cần gấp

Answer 1

Lời giải:

a)

Vì $AB,EF$ là đường kính hình tròn $(O)$ nên chúng cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường. Do đó $AEBF$ là hình bình hành

\(\Rightarrow \widehat{AEB}=\widehat{AFB}(1)\)

Mặt khác tứ giác $AEBF$ nội tiếp do cùng nằm trên một đường tròn. Do đó \(\widehat{AEB}+\widehat{AFB}=180^0\) $(2)$

Từ \((1);(2)\Rightarrow \widehat{AEB}=\widehat{AFB}=90^0\)

Hình bình hành $AEBF$ có góc vuông nên là hình chữ nhật

b)

Do $AEBF$ là hình chữ nhật nên \(\widehat{EAF}=90^0\)

\(\Rightarrow \widehat{AEF}=180^0-\widehat{EAF}-\widehat{AFE}=90^0-\widehat{AFO}\)

Và: \(\widehat{AKH}=\widehat{AKB}=90^0-\widehat{BAK}=90^0-\widehat{OAF}\)

Mà \(\widehat{AFO}=\widehat{OAF}\) (do tam giác $OAF$ cân tại $O$)

Do đó: \(\widehat{AEF}=\widehat{AKH}\) . Suy ra $EFKH$ nội tiếp.

c)

Thấy rằng \(\widehat{A_1}=90^0-\widehat{AEF}=90^0-\widehat{AKH}=\widehat{H}\)

Suy ra tam giác $MHA$ cân tại $M$

\(\Rightarrow MH=MA\)

Mặt khác:

\(\widehat{MAK}=\widehat{EAF}-\widehat{A_1}=90^0-\widehat{A_1}=90^0-\widehat{H}=\widehat{MKA}\)

\(\Rightarrow \) tam giác $MAK$ cân tại $M$

Do đó: $MA=MK$

Vậy \(MH=MK\Rightarrow M\) là trung điểm của $HK$

Do đó $AM$ là trung tuyến của tam giác $AHK$

Answer 2

\(\)

Answer 3