Question

Cho đường tròn (C): (x-1)² + (y-3)² =9 và đt d: x+y+m =0.Tìm m để trên d có duy nhất 1 điểm A mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến AB AC tới (C),(B,C là tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.

Answer 1

Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;3\right)\) bán kính \(R=3\)

Theo tính chất tiếp tuyến, do \(AB=AC\Rightarrow\Delta ABC\) vuông cân tại A

\(\Rightarrow ABIC\) là hình vuông

\(\Rightarrow AI=R\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)

Gọi \(A\left(a;-a-m\right)\Rightarrow\overrightarrow{IA}=\left(a-1;-a-m-3\right)\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)^2+\left(a+m+3\right)^2=18\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2\left(m+2\right)a+m^2+6m-8=0\) (1)

Để có duy nhất 1 điểm A \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có nghiệm kép

\(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m+2\right)^2-2\left(m^2+6m-8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-m^2-8m+20=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-10\end{matrix}\right.\)