1. Trong Oxy, cho (C): \(x^2+y^2-2x-4y+1=0\), M(3; 4). Viết phương trình đường tròn (\(C_2\)) có tâm M, cắt đường tròn (\(C_1\)) tại hai điểm A, B sao cho \(S_{\Delta IAB}\) lớn nhất.
2. Trong Oxy, cho (C): \(x^2+y^2-2x+4y=0\), d: \(x-y-1=0\). Tìm điểm M thuộc d sao cho qua M kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C) lần lượt tại A, B và \(\Delta MAB\) là tam giác đều.
3. Trong Oxy, cho (C): \(x^2+y^2-2x-4y-5=0\) và điểm M(0; -1) \(\in\) (C), Tìm tọa độ các điểm B, C thuộc đường tròn (C) saao cho \(\Delta MBC\) đều.
Câu 1:
Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;2\right)\) bán kính \(R=2\)
\(\overrightarrow{IM}=\left(2;2\right)=2\left(1;1\right)\)
Do AB luôn vuông góc AM nên đường thẳng AB nhận (1;1) là 1 vtpt
Phương trình AB có dạng: \(x+y+c=0\)
Theo công thức diện tích tam giác:
\(S_{IAB}=\frac{1}{2}IA.IB.sin\widehat{AIB}=\frac{1}{2}R^2sin\widehat{AIB}\le\frac{1}{2}R^2\)
\(\Rightarrow S_{max}=\frac{1}{2}R^2\) khi \(\widehat{AIB}=90^0\)
\(\Rightarrow d\left(I;AB\right)=\frac{R}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\frac{\left|1+2+c\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left|c+3\right|=2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=-1\\c=-5\end{matrix}\right.\)
Có 2 đường thẳng AB thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}x+y-1=0\\x+y-5=0\end{matrix}\right.\)
TH1: \(x+y-1=0\Rightarrow y=1-x\)
Thay vào pt đường tròn: \(x^2+\left(1-x\right)^2-2x-4\left(1-x\right)+1=0\)
Giải ra tọa độ A hoặc B (1 cái là đủ) rồi tính được AM
TH2: tương tự.
Bạn tự làm nốt phần còn lại nhé
Câu 1: ko biết điểm I là điểm nào :(
Câu 2:
Đường tròn tâm \(I\left(1;-2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{5}\)
Do M thuộc d nên tọa độ M có dạng \(M\left(m;m-1\right)\)
Tam giác MAB đều \(\Rightarrow\widehat{AMB}=60^0\Rightarrow\widehat{AOB}=120^0\)
Theo định lý hàm cos:
\(AB=\sqrt{OA^2+OB^2-2OA.OB.cos120^0}=\sqrt{15}\)
\(\Rightarrow AM=AB=\sqrt{15}\)
\(\Rightarrow OM=\sqrt{OA^2+AM^2}=2\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow m^2+\left(m-1\right)^2=20\)
\(\Leftrightarrow2m^2-2m-19=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\frac{1+\sqrt{39}}{2}\\m=\frac{1-\sqrt{39}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(\frac{1+\sqrt{39}}{2};\frac{-1+\sqrt{39}}{2}\right)\\M\left(\frac{1-\sqrt{39}}{2};\frac{-1-\sqrt{39}}{2}\right)\end{matrix}\right.\)
Số hơi xấu, bạn kiểm tra lại quá trình tính toán, sợ nhầm lẫn
Câu 3:
Đường tròn tâm \(I\left(1;2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{10}\)
Tam giác MBC đều \(\Rightarrow IM\) là trung trực của BC
\(\overrightarrow{MI}=\left(1;3\right)\Rightarrow\) đường thẳng BC nhận \(\left(1;3\right)\) là 1 vtpt
Phương trình BC có dạng \(x+3y+c=0\)
Mặt khác do MBC đều nên I đồng thời là trọng tâm
\(\Rightarrow d\left(I;BC\right)=\frac{1}{2}IM=\frac{\sqrt{10}}{2}\)
Theo công thức khoảng cách:
\(\frac{\left|1+2.3+c\right|}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{2}\Leftrightarrow\left|c+7\right|=5\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=-2\\c=-12\end{matrix}\right.\)
Có 2 đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}x+3y-2=0\\x+3y-12=0\end{matrix}\right.\)
M và I phải nằm cùng phía so với đường thẳng BC nên loại trường hợp \(x+3y-2=0\)
Tọa độ B và C là nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+3y-12=0\\x^2+y^2-2x-4y-5=0\end{matrix}\right.\)
Bạn tự giải nốt