Bài 5b: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

ML

Cho đồ thị (C) : \(y=-x^3+3x+2\)

Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của (C) biết :

a)  \(\Delta\) vuông góc với đường thẳng \(x+y-1=0\)

b)  \(\Delta\) có hệ số góc lớn nhất

c)  \(\Delta\)  tạo với đường thẳng \(\Delta':x-y+1=0\) một góc \(45^0\)

TA
27 tháng 4 2016 lúc 11:30

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\)là tiếp điểm. Ta có : \(y'=-3x^2+3\)

a) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x+y-1=0\Rightarrow y=-x+1\) nên ta có :

\(y'\left(x_0\right)=1\Leftrightarrow-3x^2_0+3=1\Leftrightarrow x_0=\pm\frac{\sqrt{6}}{3}\)

\(x_0=\frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow y_0=\frac{18+7\sqrt{6}}{9}\) nên ta có phương trình tiếp tuyến 

                                       \(y=\left(x-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)+\frac{18+7\sqrt{6}}{9}=x+\frac{18+7\sqrt{6}}{9}\)

\(x_0=-\frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow y_0=\frac{18-7\sqrt{6}}{9}\) nên ta có phương trình tiếp tuyến 

                                       \(y=\left(x+\frac{\sqrt{6}}{3}\right)+\frac{18-7\sqrt{6}}{9}=x+\frac{18-7\sqrt{6}}{9}\)

 b) Ta có \(y'=-3x^2_0+3\le3\) với mọi \(x_0\Rightarrow maxy'=3\) đạt được khi \(x_0=0\)Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất có tiếp điểm là \(M\left(0;2\right)\) và \(y'\left(x_0\right)=3\) nên ta có phương trình : \(y=3x+2\) c) Gọi hệ số góc của tiếp tuyến là k thì \(\overrightarrow{n}\left(k;-1\right)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta\)

Vì \(\Delta\) tạo với \(\Delta'\) một góc bằng \(45^0\) nên \(\frac{\left|k-1\right|}{\sqrt{k^2+1}.\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow k=0\)

Ta có \(f'\left(x_0\right)=k\Leftrightarrow-3x^2_0+3=0\Leftrightarrow x_0=\pm1\)

\(x_0=1\Rightarrow y_0=4\Rightarrow\Delta:y-4=0\)

\(x_0=-1\Rightarrow y_0=-2\Rightarrow\Delta:y+2=0\)

   

 

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
NT
Xem chi tiết
VV
Xem chi tiết
LQ
Xem chi tiết
HM
Xem chi tiết
NH
Xem chi tiết
NT
Xem chi tiết
PA
Xem chi tiết
CB
Xem chi tiết
PT
Xem chi tiết