Question

Cho ΔABC nhọn (AB<AC) có ba đường cao AF, BD và CE cắt nhau tại H

a) CM: ΔAEC đồng dạng với ΔABD

b) CM: ΔADE đồng dạng với ΔABC

c) CM: BE.AB+CD.AC=BC²

d) AF cắt DE tại I. CM: HI.AF=AI.HF

Answer 1

a) Xét tam giác AEC và tam giác ABD:

- ∠BAC chung

- ∠ACE = ∠ADB

⇒ △AEC đồng dạng △ABD (g.g)

b) Theo câu a ⇒ \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}\)

- ∠BAC chung

=> △ADE đồng dạng △ABC

c) △BEC đồng dạng △BFA(g.g)

=> \(\dfrac{BE}{BF}=\dfrac{BC}{BA}\)

=> AB.BE=BF.BC (1)

△CDB đồng dạng △CFA(g.g)

=> \(\dfrac{CD}{CF}=\dfrac{BC}{AC}\) => CD.AC=CF.BC (2)

Từ (1) và (2) => AB.BE+CD.AC=BF.BC+CF.BC=BC(BF+CF)=BC².

Answer 2

Answer 3

a) Xét \(\Delta AEC\) và \(\Delta ADB\) ta có:

\(\widehat{BAD}\) là góc chung

\(\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta AEC\sim\Delta ADB\) (G-G) (1)

b) Từ (1) \(\Rightarrow\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\) \(\Leftrightarrow\) AD . AC = AB . AE \(\Leftrightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\) (2)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) ta có:

\(\widehat{BAC}\) là góc chung (3)

Từ (2), (3) \(\Rightarrow\Delta ADE\sim\Delta ABC\) (C-G-C)

Answer 4

d) Dùng tính chất đường phân giác trong và ngoài.