1: Ta có: P(1)=1
\(\Leftrightarrow1^3+a\cdot1^2+b\cdot1+c=1\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow c=-a-b\)
Ta có: P(3)=7
\(\Leftrightarrow3^3+a\cdot3^2+b\cdot3+c=7\)
\(\Leftrightarrow9a+3b+c=7-27=-20\)
\(\Leftrightarrow9a+3b-a-b=-20\)
\(\Leftrightarrow8a-2b=-20\)
\(\Leftrightarrow4a-b=-10\)
\(\Leftrightarrow-b=-10-4a\)
\(\Leftrightarrow b=10+4a\)
Ta có: P(5)=21
\(\Leftrightarrow5^3+a\cdot5^2+b\cdot5+c=21\)
\(\Leftrightarrow125+25a+5b+c=21\)
\(\Leftrightarrow25a+5b+c=21-125=-104\)
\(\Leftrightarrow25a+5b-a-b=-104\)
\(\Leftrightarrow24a+4b=-104\)
\(\Leftrightarrow6a+b=-26\)
\(\Leftrightarrow6a+10+4a=-26\)
\(\Leftrightarrow10a=-36\)
hay \(a=-\dfrac{18}{5}\)
Thay \(a=-\dfrac{18}{5}\) vào biểu thức b=10+4a, ta được:
\(b=10+4\cdot\dfrac{-18}{5}=-\dfrac{22}{5}\)
Thay \(a=-\dfrac{18}{5}\) và \(b=-\dfrac{22}{5}\) vào biểu thức a+b=-c, ta được:
\(-c=-\dfrac{18}{5}-\dfrac{22}{5}=\dfrac{-40}{5}=-8\)
hay c=8
Vậy: Đa thức P(x) có dạng là \(P\left(x\right)=x^3-\dfrac{18}{5}x^2-\dfrac{22}{5}x+8\)
Thay x=7 vào biểu thức \(P\left(x\right)=x^3-\dfrac{18}{5}x^2-\dfrac{22}{5}x+8\), ta được:
\(P\left(7\right)=7^3-\dfrac{18}{5}\cdot7^2-\dfrac{22}{5}\cdot7+8\)
\(\Leftrightarrow P\left(7\right)=343-\dfrac{18}{5}\cdot49-\dfrac{22}{5}\cdot7+8\)
hay \(P\left(7\right)=\dfrac{719}{5}\)
Vậy: \(P\left(7\right)=\dfrac{719}{5}\)