Từ x : y : z = a : b : c
=> \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)
=> \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:
\(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}=\dfrac{a+b+c}{x+y+z}=\dfrac{1}{x+y+z}\) (Vì a + b + c = 1) (*1)
Ta có : \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)
=> \(\left(\dfrac{a}{x}\right)^2=\left(\dfrac{b}{y}\right)^2=\left(\dfrac{c}{y}\right)^2\)= \(\dfrac{a^2}{x^2}=\dfrac{b^2}{y^2}=\dfrac{c^2}{z^2}\)
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:
\(\dfrac{a^2}{x^2}=\dfrac{b^2}{y^2}=\dfrac{c^2}{z^2}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}\) (*2)
Từ (1),(2) => \(\left(\dfrac{1}{x+y+z}\right)^2=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}\)
=> \(\dfrac{1^2}{\left(x+y+z\right)^2}=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}\)
=> \(\dfrac{1}{\left(x+y+z\right)^2}=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}\)
=> \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\) (ĐPCM) (Vì hai phân số bằng nhau,tử số bằng nhau => mẫu số bằng nhau.)