Lời giải:
Với \(a,b,c>0\), ta sẽ cmr \((a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc\)
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\((a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow \) tam giác \(ABC\) đều (đpcm)
Bài 1: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)<2
Bài 2: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn \(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\dfrac{b^2-a^2+c^2}{2bc}+\dfrac{c^2-b^2+a^2}{2ac}\)>1
Chứng minh rằng a,b,c là 3 cạnh của tam giác
Bài 3:Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{b+a}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{b+a}{c}\)
BT1: Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác thì
(a+b-a)(a+b-c)(a+c-b)=<abc
BT2:Cho a,b,c thỏa mãn (a2+b2+c2)2>2(a4+b4+c4)
Chứng minh rằng a,b,c là độ dài các cạnh của tam giác
BT3:Cho a,b,c là 3 cạnh và p là nửa chu vi của tam giác. Chứng minh rằng
\(\dfrac{1}{p-a}\)+\(\dfrac{1}{p-b}\)+\(\dfrac{1}{p-c}\)>=2(\(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{b}\)+\(\dfrac{1}{c}\))
cho ba số thực a,b,c thõa mãn abc =1 chứng minh rằng\(\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ac}=1\)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng \(^{a^2+b^2+c< 2}\) (ab+bc+ca)
Cho biết tam giác có các cạnh a,b,c thì diện tích S của nó được tính bởi công thức : \(S=\frac{1}{4}\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^4+b^4+c^4\right)}\).Tính diện tích tam giác khi :
a ) \(a=b=c\) b ) \(a^2=b^2+c^2\)
Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác.
Chứng minh:
ab/a+b-c + bc/-a+b+c + ac/a-b+c >= a+b+c
cho tam giác abc cân tại A ,đương trung tuyến AM .Goi I là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng với M qua I.
a) Chứng minh rằng tứ giác AMKC là hình chữ nhật
b)Tính diện tích của hinh chữ nhật AMKC biết AB=10cm, BC=10cm
c) Tim điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMKC là hình vuông
cho tam giác ABC (AB<AC); đường cao AH . Gọi M , N,D là trung dểm của AB, AC, BC . Chứng minh
a) tứ giác MNBD là hình bình hành
b) H đối xứng vs A qua MN
c) tứ giác MNDH là hình thang cân
cho a,b, c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác , xác định tam giác đã cho để : ( a / b+c-a ) + ( b/ a+c-b)+(c/a+b-c) đạt giá trị nhỏ nhất