Bunhiacopxki:
\(VT\le\sqrt{3\left[3\left(a+b+c\right)+2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\right]}\)
\(VT\le\sqrt{6\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+117}\)
\(VT\le\sqrt{117+6\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}=3\sqrt{17}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=4\)
a)Tính giá trị biểu thức:p= \(\dfrac{\left(5+2\sqrt{6}\right)\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\)
b)Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số dương thỏa mãn a+c =2b thì ta luôn có
\(\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\dfrac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}\)
a)Rút gọn biểu thứcP=\((\dfrac{\sqrt{a-2}+2}{3})(\dfrac{\sqrt{a-2}}{3+\sqrt{a-2}}+\dfrac{a+7}{11-a}):(\dfrac{3\sqrt{a-2}+1}{a-3\sqrt{a-2}-2}-\dfrac{1}{\sqrt{a-2}}\)
b)Cho các số dương a,b thỏa mãn a+b=\(\sqrt{2017-a^2}+\sqrt{2017-b^2}.Chứng\) Minh \(a^2+b^2=2017\)
a, Giải phương trình: 2\(\left(x-\sqrt{2x^2+5x-3}\right)=1+x\left(\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x+3}\right)\)
b, Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a,b,c=1
Chứng minh rằng:\(\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\le\dfrac{1}{2}\)
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=1
Chứng minh rằng: \(\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{3}{2}.\)
(Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy)
cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=abc
chứng minh rằng \(A=\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+c^2}}\le\dfrac{3}{2}\)
Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn \(a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-c^2}+c\sqrt{1-a^2}=\dfrac{3}{2}\)
CMR: \(a^2+b^2+c^2=\dfrac{3}{2}\)
cho a,b,c là các số thực thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\)
chứng minh rằng \(\sqrt{a^2+b^2.c^2}+\sqrt{b^2+c^2.a^2}+\sqrt{c^2+a^2.b^2}\ge ab+bc+ca+1\)
Chứng minh các đẳng thức sau :
a) \(\left(\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}-\dfrac{\sqrt{216}}{6}\right).\dfrac{1}{\sqrt{6}}=-1,5\)
b) \(\left(\dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}\right):\dfrac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=-2\)
c) \(\dfrac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}:\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=a-b\) với a, b dương và \(a\ne b\)
d) \(\left(1+\dfrac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\dfrac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)=1-a\) với \(a\ge0\) và \(a\ne1\)
Cho a,b,c > 0 thỏa mãn
\(a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-c^2}+c\sqrt{1-a^2}=\frac{3}{2}\)
Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 = \(\frac{3}{2}\)
Cho a,b,c dương thỏa mãn \(ab+bc+ca=1\). Tìm GTLN của
\(P=\dfrac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)