§1. Bất đẳng thức

BH

CHO A,B,C >0 VÀ A + B + C = 1. CHỨNG MINH RẰNG :

(1-A)(1-B)(1-C) ≥ 8ABC

NL
13 tháng 2 2020 lúc 14:02

\(VT=\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)

\(VT\ge2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}.2\sqrt{ab}=8abc\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
AH
13 tháng 2 2020 lúc 14:08

Lời giải:

Vì $A+B+C=1$ ta có:

$(1-A)(1-B)(1-C)=(B+C)(C+A)(A+B)$

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương:

$B+C\geq 2\sqrt{BC}; C+A\geq 2\sqrt{CA}; A+B\geq 2\sqrt{AB}$

$\Rightarrow (1-A)(1-B)(1-C)=(B+C)(C+A)(A+B)\geq 2\sqrt{BC}.2\sqrt{CA}.2\sqrt{AB}$

hay $(1-A)(1-B)(1-C)\geq 8ABC$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $A=B=C=\frac{1}{3}$

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
NC
Xem chi tiết
PN
Xem chi tiết
TT
Xem chi tiết
PT
Xem chi tiết
PT
Xem chi tiết
VH
Xem chi tiết
LV
Xem chi tiết
VQ
Xem chi tiết
PT
Xem chi tiết