Mình nghĩ CM bằng BĐT Bunhiacopxky đã là chi tiết rồi nhưng nếu bạn muốn chi tiết hơn nữa thì thế này:
Xét hiệu:\(\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\right)(x+y+z)-(a+b+c)^2\)
\(=a^2+a^2.\frac{y}{x}+a^2.\frac{z}{x}+b^2+b^2.\frac{x}{y}+b^2.\frac{z}{y}+c^2+c^2.\frac{x}{z}+c^2.\frac{y}{z}-(a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ac)\)
\(=(a^2.\frac{y}{x}+b^2.\frac{x}{y}-2ab)+(a^2.\frac{z}{x}+c^2.\frac{x}{z}-2ac)+(b^2.\frac{z}{y}+c^2.\frac{y}{z}-2bc)\)
\(=(a\sqrt{\frac{y}{x}}-b\sqrt{\frac{x}{y}})^2+(a\sqrt{\frac{z}{x}}-c\sqrt{\frac{x}{z}})^2+(b\sqrt{\frac{z}{y}}-c\sqrt{\frac{y}{z}})^2\geq 0\) với mọi $a,b,c,x,y,z>0$
Do đó:\(\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\right)(x+y+z)\geq (a+b+c)^2\)
\(\Rightarrow \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}\) (đpcm)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\right)(x+y+z)\geq (a+b+c)^2\)
\(\Rightarrow \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^2}{x+z+y}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
