Ta có: \(\dfrac{1}{4-\sqrt{ab}}\le\dfrac{1}{4-\dfrac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{2}}\)
\(\left(a^2+b^2;b^2+c^2;c^2+a^2\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=6\\x;y;z>0\end{matrix}\right.\)
Làm nốt :v
từ giả thiết, ta có \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\)
đặt \(\left(\dfrac{1}{xy};\dfrac{1}{yz};\dfrac{1}{zx}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=1\) =>\(\left(\dfrac{ac}{b};\dfrac{ab}{c};\dfrac{bc}{a}\right)=\left(\dfrac{1}{x^2};\dfrac{1}{y^2};\dfrac{1}{z^2}\right)\)
ta có VT=\(\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{y^2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{z^1}}}=\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{ac}{b}}}+\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{ab}{c}}}+\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{bc}{a}}}\)
=\(\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{b+ac}{b}}}+\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{a+bc}{a}}}+\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{c+ab}{c}}}=\sqrt{\dfrac{a}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{b}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}+\sqrt{\dfrac{c}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(\le\sqrt{3}\sqrt{\dfrac{ac+ab+bc+ba+ca+cb}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=\sqrt{3}.\sqrt{\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)
ta cần chứng minh \(\sqrt{\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\le\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\dfrac{9}{4}\Leftrightarrow8\left(ab+bc+ca\right)\le9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
<=>\(8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\le9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) (luôn đúng )
^_^
cho a,b,c>0 và \(a^2+b^2+c^2=1\)
chứng minh rằng \(A=\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}+\sqrt{\dfrac{bc-2a^2}{1+bc-a^2}}+\sqrt{\dfrac{ca+2b^2}{1+ca-b^2}}\ge2+ab+bc+ca\)
a, Giải phương trình: 2\(\left(x-\sqrt{2x^2+5x-3}\right)=1+x\left(\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x+3}\right)\)
b, Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a,b,c=1
Chứng minh rằng:\(\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\le\dfrac{1}{2}\)
Câu 1:
a) Cho M = \(x^3-3x^2-3x+3\) .
Biết \(x=1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\)
Chứng minh rằng: M là số chính phương
b) Cho \(x,y,z\) là các số không âm. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}+\dfrac{xy}{z}\ge x+y+z\)
Câu 2:
Cho biểu thức
A = \(\dfrac{15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3}+\dfrac{3\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}-\dfrac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}\)
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm gía trị nguyên của \(x\) sao cho giá trị tương ứng của biểu thức A nguyên
Câu 3:
Cho PT: \(x^2+\left(4m+1\right)x+2\left(m-4\right)=0\)
a) Tìm \(m\) để PT có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn điều kiện \(x_2-x_1=17\)
b) Tìm \(m\) để biểu thức \(\left(x_2-x_1\right)^2\) có GTNN
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc \(m\)
Câu 4:
a) Thực hiện phép tính:
\(\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2}-\sqrt{3}}\)
b) Cho \(a+b+c=0\)
\(a,b,c\ne0\)
Chứng minh đẳng thức: \(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}=\left|\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right|\)
Câu 5:
Một ca nô đi từ A đến B rồi nghỉ tại B 12 phút, sau đó quay về A mất tổng cộng 3 giờ 30 phút. Biết vận tốc khi ca nô xuôi dòng là 60 km/h và ngược dòng là 50 km/h. Tính quãng đường AB và vận tốc của dòng nước.
Cho các biểu thức:
A= \(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{24}+\sqrt{25}}\)
B= \(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{24}}\)
a. Trục căn ở mẫu biểu thức \(\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)
b. Tính giá trị của A
c. Chứng minh rằng B>8
Bài 1 : Cho \(a\ge1;b\ge1\)
\(\dfrac{b\sqrt{a-1}+a\sqrt{b-1}}{ab}\)\(\le1\)
Bài 2 : Cho x, y thỏa mãn x + y = \(\dfrac{5}{4}\)
CMR : \(\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{4y}\ge5\)
Bài 3 : Cho a > 0. CMR : \(a^2+\dfrac{2}{a^3}\ge\dfrac{5\sqrt[5]{9}}{3}\)
\(\left(\dfrac{1}{a+\sqrt{a}}-\dfrac{1}{\sqrt{a}+1}\right):\dfrac{1\sqrt{4}}{a+2\sqrt{a}+1}=\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{4}}\)
chứng minh đẳng thức
DẠNG TOÁN RÚT GỌN:
1) a) Chứng tỏ: \(\dfrac{5+3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}+\dfrac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}-\left(\sqrt{5}+3\right)=\sqrt{3}\)
b) Cho P= \(a-\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{a-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}}\right)\left(a>=1\right)\). Chứng tỏ P >= 0
2) Giải phương trình: a) 3x +\(\sqrt{2}\) = 2(x+\(\sqrt{2}\))
b) \(3\sqrt{x-2}-\sqrt{x^2-4}=0\)
3) Thực hiện phép tính:
a) \(\sqrt[.3]{2-10}-\sqrt{36+64}\)
b) \(\sqrt{\left(\sqrt{2}-3\right)^2}+\sqrt[3]{\left(\sqrt{2}-5\right)^3}\)
4) Cho biểu thức: P= \(\dfrac{2a^2+4}{1-a^3}-\dfrac{1}{1+\sqrt{a}}-\dfrac{1}{1-\sqrt{a}}\)
a) Tìm điều kiện của a để P xác định
b) Rút gọn biểu thức P
Cho biểu thức:
\(A=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-5};B=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{5}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{4}{x-1}\), \(x\ge0,x\ne1,x\ne25.\)
a) Chứng minh rằng \(B=\dfrac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-1}\).
b) Tính giá trị của A khi x = 49.
c) Tìm giá trị của x để B > 1.
d) So sánh \(C=\left(A.B+\dfrac{x-5}{\sqrt{x}-5}\right).\dfrac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}}\) với 3 \(\left(x>0,x\ne1,x\ne25\right)\)