Bài 12: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kinh AB và điểm C thuộc nửa đường tròn đó (C khác A, B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điẻm E, tia AC cắt tia BE tại F.
a) Chứng minh rằng: FCDE là tứ giác nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh rằng: DA.DE=DB.DC
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
xét (o) ta có : ACB = 90 (góc nội tiếp chắng nửa (o))
\(\Rightarrow\) DCF = 90 (kề bù góc ACB)
AEB = 90 (góc nội tiếp chắng nửa (o))
\(\Rightarrow\) DEF = 90 (kề bù góc AEB)
xét tứ giác FCDE ta có : DCF = 90 (chứng minh trên)
DEF = 90 (chứng minh trên)
\(\Rightarrow\) DCF + DEF = 180
mà 2 góc ở vị trí đối nhau \(\Rightarrow\) tứ giác FCDE nội tiếp (đpcm)
xét \(\Delta\) DAC và \(\Delta\) DBE
ta có : ACB = AEB (2 góc nội tiếp cùng chắng cung AB của (o))
CAE = CBE (2 góc nội tiếp cùng chắng cung CE của (o))
CDA = EDB (đối nhau)
\(\Rightarrow\) \(\Delta\) DAC đồng dạng \(\Delta\) DBE
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{DA}{DB}\) = \(\dfrac{DC}{DE}\) \(\Leftrightarrow\) DA.DE = DB.DC (ĐPCM)
c) ta có : OC = OB = R
\(\Rightarrow\) OCB = OBC
mà OBC = AEC (2 góc nội tiếp cùng chắng cung AC của (o))
đồng thời DEC = DFC (2 góc nội tiếp cùng chắng cung DC của (I))
\(\Rightarrow\) OCB = DFC
xét (I) ta có : IF = IC = R
\(\Rightarrow\) IFC = ICF
mà OCB = DFC
\(\Rightarrow\) ICF = OCB
mà ICF + DCI = 90 (góc DCF = 90)
\(\Rightarrow\) OCB + DCI = 90
\(\Leftrightarrow\) OCI = 90 \(\Leftrightarrow\) IC\(\perp\)CO
\(\Leftrightarrow\) IC là tiếp tuyến của (o) (đpcm)