a) Gọi D là giao điểm của BM và AC
Gọi E là giao điểm của CM và AB
Do đó: CE⊥AB và BD⊥AC
Ta có: ΔEMB vuông tại E(CE⊥AB)
nên \(\widehat{EMB}+\widehat{EBM}=90^0\)(hai góc phụ nhau)(1)
Ta có: ΔDMC vuông tại D(BD⊥AC)
nên \(\widehat{DMC}+\widehat{DCM}=90^0\)(hai góc phụ nhau)(2)
mà \(\widehat{EMB}=\widehat{DMC}\)(hai góc đối đỉnh)(3)
nên \(\widehat{EBM}=\widehat{DCM}\)
hay \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)
Ta có: \(\widehat{ABD}+\widehat{CBD}=\widehat{ABC}\)(tia BD nằm giữa hai tia BA,BC)
\(\widehat{ACE}+\widehat{BCE}=\widehat{ACB}\)(tia CE nằm giữa hai tia CA,CB)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACD}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
và \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)(cmt)
nên \(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\)
hay \(\widehat{MBC}=\widehat{MCB}\)
Xét ΔMBC có \(\widehat{MBC}=\widehat{MCB}\)(cmt)
nên ΔMBC cân tại M(định lí đảo của tam giác cân)
⇒MB=MC
Xét ΔEMB vuông tại E và ΔDMC vuông tại D có
MB=MC(cmt)
\(\widehat{EMB}=\widehat{DMC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔEMB=ΔDMC(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒EM=MD(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔAEM vuông tại E và ΔADM vuông tại D có
AM là cạnh chung
EM=MD(cmt)
Do đó: ΔAEM=ΔADM(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒\(\widehat{EAM}=\widehat{DAM}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)
mà tia AM nằm giữa hai tia AB, AC
nên AM là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm)
b) Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: MB=MC(cmt)
nên M nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của BC
hay AM⊥BC(đpcm)
a, - Gọi châm đường vuông góc kẻ từ B, C tới AC, AB lần lượt là H, K .
- Ta có : Tam giác ABC cân tại A .
=> AB = AC ( tính chất tam giác cân )
- Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACK\) có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAC}\left(chung\right)\\AB=AC\left(cmt\right)\\\widehat{AHB}=\widehat{AKC}\left(=90^o\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta ABH\) = \(\Delta ACK\) ( Ch - gn )
- Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\) có :
\(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(cmt\right)\\\widehat{ABM}=\widehat{ACM}\left(cmt\right)\\AM=AM\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta ABM\) = \(\Delta ACM\) ( c - g - c )
=> \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) ( góc tương ứng )
=> AM là tia phân giác của góc A . ( đpcm )
b, - Xét tam giác ABC cân tại A có :
+, AM là tia phân giác của góc A ( câu a )
=> AM là đường trung trực .
=> AM là đường cao .
=> AM vuông góc với BC ( đpcm )