a: Xét (O) có
ΔADB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó;ΔADB vuông tại D
Xét ΔDAO có
DI là đường cao
DI là đường trung tuyến
Do đó: ΔDAO cân tại D
Xét ΔDAO cân tại D có OA=OD(=R)
nên ΔDAO đều
=>DA=R và \(\widehat{DAO}=60^0\)
Ta có: ΔDAB vuông tại D
=>\(DA^2+DB^2=AB^2\)
=>\(DB^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)
=>\(DB=R\sqrt{3}\)
b: Ta có: ΔOED cân tại O
mà OI là đường cao
nên I là trung điểm của ED và OI là phân giác của góc DOE
Xét ΔODM và ΔOEM có
OD=OE
\(\widehat{DOM}=\widehat{EOM}\)
OM chung
Do đó: ΔODM=ΔOEM
=>\(\widehat{ODM}=\widehat{OEM}=90^0\)
=>ME là tiếp tuyến của (O)
c: Xét (O) có
\(\widehat{MDA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến DM và dây cung DA
\(\widehat{ABD}\) là góc nội tiếp chắn cung DA
Do đó: \(\widehat{MDA}=\widehat{ABD}=\widehat{MBD}\)
Xét ΔMDA và ΔMBD có
\(\widehat{MDA}=\widehat{MBD}\)
\(\widehat{DMA}\) chung
Do đó: ΔMDA đồng dạng với ΔMBD
=>\(\dfrac{MD}{MB}=\dfrac{MA}{MD}\)
=>\(MD^2=MA\cdot MB\left(1\right)\)
Xét ΔMDO vuông tại D có DI là đường cao
nên \(MI\cdot MO=MD^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(MA\cdot MB=MI\cdot MO\)
