a, sd đl pytago được BC =10cm
sd tc ph/giác chỉ ra:\(\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AB}{BC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{AD}{DC+AD}=\dfrac{AB}{BC+AB}\)
thay số tính được AD = 3cm ; DC = 5cm
b. Chỉ ra : \(\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{HB}{AB}\)
tự cm: tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC ( g-g)
\(\Rightarrow\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{HI}{IA}\)
\(\Rightarrow\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{AD}{DC}\)
c, chỉ ra tam giác ABD đồng dạng tam giác HBI
\(\Rightarrow\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{BD}{BI}\)
\(\Rightarrow AB.BI=BD.HB\)
Chỉ ra tam giác ABD đồng dạng HBI suy ra:
\(\Rightarrow\widehat{BIH}=\widehat{ADI}\)
\(\Rightarrow\Delta\) ADI cân
a) -Xét △ABC vuông tại A có:
\(BC^2=AB^2+AC^2\) (định lí Py-ta-go).
\(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\).
-Xét △ABC có: BD là đường phân giác (gt).
\(\Rightarrow\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AB}{BC}\) (định lí đường phân giác).
\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DC}{BC}=\dfrac{AD+DC}{AB+BC}=\dfrac{AC}{AB+BC}\)
\(\Rightarrow AD=\dfrac{AB.AC}{AB+BC}=\dfrac{6.8}{6+10}=3\left(cm\right)\) ; \(DC=AC-AD=8-3=5\left(cm\right)\).
b) -Xét △ABH có: BI là đường phân giác (gt).
\(\Rightarrow\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{BH}{BA}\) (định lí đường phân giác).
-Xét △ABH và △CBA có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^0\)
\(\widehat{B}\) là góc chung.
\(\Rightarrow\) △ABH ∼ △CBA (g-g).
\(\Rightarrow\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BA}{BC}\) (2 tỉ lệ tương ứng).
Mà \(\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{BH}{BA}\) (cmt) , \(\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AB}{BC}\) (cmt).
\(\Rightarrow\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{AD}{DC}\).
c) -Xét △ABD và △HBI có:
\(\widehat{ABD}=\widehat{HBI}\) (BD là phân giác của \(\widehat{ABC}\))
\(\widehat{BAD}=\widehat{BHI}=90^0\)
\(\Rightarrow\)△ABD ∼ △HBI (g-g).
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{HB}{BI}\) (2 tỉ lệ tương ứng).
\(\Rightarrow AB.BI=HB.BD\).
-Ta có:\(\widehat{ADB}=\widehat{HIB}\) (△ABD ∼ △HBI) mà \(\widehat{HIB}=\widehat{AID}\) (đối đỉnh)
\(\Rightarrow\widehat{ADI}=\widehat{AID}\) hay △ADI cân tại A.
