Ôn tập chương III

Đkxđ: \(\dfrac{1}{2}-x\le0\) \(\Leftrightarrow x\le\dfrac{1}{2}\).
Đặt: \(a=\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}x};b=\sqrt{\dfrac{1}{2}-x}\) \(\left(a,b\in R;b>0\right)\).
Khi đó ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\2a^3+b=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=1-a\\4a^3+2\left(1-a\right)=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4a^3+2\left(1-a\right)=1\)\(\Leftrightarrow4a^3+2a^2-4a+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4a^3-a\right)+\left(2a^2-3a+1\right)=0\)\(\Leftrightarrow a\left(2a-1\right)\left(2a+1\right)+\left(2a-1\right)\left(a-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)\left[a\left(2a+1\right)+a-1\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)\left(2a^2+2a-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2a-1=0\\2a^2+2a-1=0\end{matrix}\right.\)\(\left[{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\a=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\\a=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\).
Với \(a=\dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}x}=\dfrac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow x=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3:\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\) (tm)
Với \(a=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\)\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}x}=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\)\(\Leftrightarrow x=\left(\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\right)^3:\dfrac{1}{2}=\dfrac{\left(-1+\sqrt{3}\right)^3}{4}\) (tm).
Với \(a=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\dfrac{\left(-1-\sqrt{3}\right)^3}{4}\) (tm).
Vậy phương trình có ba nghiệm là:\(\dfrac{1}{4};\dfrac{\left(-1+\sqrt{3}\right)^3}{4};\dfrac{\left(-1-\sqrt{3}\right)^3}{4}\).

a,\(\left\{{}\begin{matrix}-7x+3y=-5\\5x-2y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-14x+6y=-10\\15x+6y=12\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\5x-2y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2x-y=3\)

b,\(\left\{{}\begin{matrix}4x-2y=6\\-2x+y=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y=3\\2x-y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow2x-y=3\)

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm (x;y)= (a;2a-3), a tùy ý

c, \(\left\{{}\begin{matrix}-0,5x+0,4y=0,7\\0,3x-0,2y=0,4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-0,5x+0,4y=0,7\\0,6x-0,4y=0,8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=15\\0,3x-0,2y=0,4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=15\\y=20,5\end{matrix}\right.\)

d, \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{5}x-\dfrac{4}{3}y=\dfrac{2}{5}\\-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{9}y=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{5}x-\dfrac{4}{3}y=\dfrac{2}{5}\\-\dfrac{3}{5}x-\dfrac{1}{2}y=\dfrac{6}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{11}{6}y=\dfrac{8}{5}\\\dfrac{3}{5}x-\dfrac{4}{3}y=\dfrac{2}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{14}{11}\\y=-\dfrac{48}{55}\end{matrix}\right.\)

a) \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-3z=2\\2x+7y+z=5\\-3x+3y-2z=-7\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y-3z=2\\3y+7z=1\\-32z=-4\end{matrix}\right.\)

Đáp số : \(\left(x,y,z\right)=\left(\dfrac{55}{24},\dfrac{1}{24},\dfrac{1}{8}\right)\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}-x-3y+4z=3\\3x+4y-2z=5\\2x+y+2z=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x-3y+4z=3\\-5y+10z=14\\-5y+10z=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x-3y+4z=3\\-5y+10z=14\\0y+0z=-4\end{matrix}\right.\)

Phương trình cuối vô nghiệm, suy ra hệ phương trình đã cho vô nghiệm

a) Xét \(a=0\) . Thay vào hệ phương trình ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}3x=5\\2x+y=b\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{3}\\y=b-2x\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{3}\\y=b-\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\).
Vậy khi \(a=0\) và mỗi giá trị \(b\in R\) hệ có duy nhất nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{3}\\y=b-\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\).
Vậy \(a\ne0\). Khi đó hệ có vô số nghiệm khi và chỉ khi:
\(\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{a}=\dfrac{b}{5}\).
\(\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{a}\)\(\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{2}\); \(\dfrac{2}{3}=\dfrac{b}{5}\)\(\Leftrightarrow b=\dfrac{10}{3}\).
Vậy \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{10}{3}\right)\) thì hệ có vô số nghiệm.

Gọi giá vé người lớn là x, giá vé trẻ em là: y \(\left(x,y\in R;x,y>0\right)\).
Vé của 4 người lớn và 3 trẻ em là: \(4x+3y\).
Theo giả thiết: \(4x+3y=370000\).
Vé của hai người lớn và hai trẻ em là: \(2x+2y=200000\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}4x+3y=370000\\2x+2y=200000\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=70000\\y=30000\end{matrix}\right.\).
Vậy giá vé người lớn là: 70000 đồng; giá vé trẻ em là: 30000.

Gọi số cần tìm có dạng: \(\overline{ab}\) \(\left(a,b\in N;a,b>0\right)\)
Thương của số cần tìm với tích hai chữ số của nó có dạng:\(\overline{ab}:\left(ab\right)\).
Theo giả thiết ta có: \(\overline{ab}=2ab+18\).
Tổng bình phương các chữ số của số cần tìm là: \(a^2+b^2+9=\overline{ab}\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}2ab+18=\overline{ab}\\a^2+b^2+9=\overline{ab}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a^2+b^2+9=2ab+18\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=9\)\(\Leftrightarrow\left|a-b\right|=3\).
Th 1. \(a-b=3\)\(\Leftrightarrow a=b+3\). Khi đó:
\(2ab+18=\overline{ab}\)\(\Leftrightarrow2ab+18=10a+b\)\(\Leftrightarrow2\left(b+3\right)b+18=10\left(b+3\right)+b\)\(\Leftrightarrow2b^2-5b-12=0\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=4\left(tm\right)\\b=\dfrac{-3}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\).
Với \(b=4\) ta có \(a=3+b=3+4=7\). Vậy số đó là 73.
Th2: \(a-b=-3\)\(\Leftrightarrow a=b-3\). Khi đó:
\(2ab+18=10a+b\)\(\Leftrightarrow2\left(b-3\right)b+18=10\left(b-3\right)+b\)
\(\Leftrightarrow2b^2-17b+48=0\) (Vô nghiệm).
Vậy số cần tìm là: 73.

Gọi số xe chở 3 tấn, chở 5 tấn và xe chở 7,5 tấn lần lượt là:\(x,y,z\left(x,y,z\in N;x,y,z>0\right)\).
Do tổng số xe là 57 nên: \(x+y+z=57\).
Số tấn xi măng phải chở là 290 tấn nên: \(3x+5y+7,5z=290\).
Tất cả số xe chở 7,5 tấn chở 3 chuyến được: \(3.7,5.z\).
Tất cả số xe 5 tấn chở 3 chuyến và số xe 3 tấn chở 2 chuyến được: \(3.5.y+2.3x\).
Ta có phương trình: \(3.7,5z=3.5y+2.3x\Leftrightarrow22,5z=15y+6x\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=57\\3x+5y+7,5z=290\\22,5z=15y+6x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=20\\y=19\\z=18\end{matrix}\right.\)
Vậy số xe 3 tấn là 20 xe, số xe 5 tấn là 19 chiếc, số xe 7,5 tấn là 18 xe.

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+\left(3m+1\right)y=m-1\\\left(m+2\right)x+\left(4m+3\right)y=m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(m+2\right)x+\left(m+2\right)\left(3m+1\right)y=\left(m-1\right)\left(m+2\right)\\2\left(m+2\right)x+2\left(4m+3\right)y=2m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(m+2\right)\left(3m+1\right)y-2.\left(4m+3\right)y\)\(=\left(m-1\right)\left(m+2\right)-2m\)
\(\Leftrightarrow\left(3m^2-m-4\right)y=m^2-m-2\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(3m-4\right)y=\left(m+1\right)\left(m-2\right)\) (*)
Th1: \(\left(m+1\right)\left(3m-4\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)
Với \(m=-1\) thay vào hệ phương trình ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}2x-2y=-2\\x-y=-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y-1\).
Khi đó hệ phương trình có vô số nghiệm dạng: \(\left\{{}\begin{matrix}x=y-1\\y\in R\end{matrix}\right.\).
Với \(m=\dfrac{4}{3}\) thay vào (*) ta được: \(0y=-\dfrac{2}{3}\) (Vô nghiệm)
Khi đó hệ phương trình vô nghiệm.
Th2: \(\left(m+1\right)\left(3m-4\right)\ne0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\m\ne\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\).
Khi đó (*) có nghiệm: \(y=\dfrac{m-2}{3m-4}\).
Thay vào ta được: \(2x+\left(3m+1\right).\dfrac{m-2}{3m-4}=m-1\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3-m}{3m-4}\).
Thử lại: \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3-m}{3m-4};\dfrac{m-2}{3m-4}\right)\) thỏa mãn hệ phương trình.
Biện luận:
Với \(m=-1\) hệ phương trình có vô số nghiệm loại: \(\left\{{}\begin{matrix}x=y-1\\y\in R\end{matrix}\right.\).

Với \(m=\dfrac{4}{3}\) hệ phương trình vô nghiệm.
Với \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\m\ne\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\) hệ có nghiệm duy nhất là: \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3-m}{3m-4};\dfrac{m-2}{3m-4}\right)\).