Ôn tập chương III

a) \(2m\left(x-2\right)+4=\left(3-m^2\right)x\)
\(\Leftrightarrow x\left(m^2+2m-3\right)=4m-4\)
​Xét \(m^2+2m-3=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-3\end{matrix}\right.\).
​Với \(m=1\) thay vào phương trình ta được:
\(0x=0\) luôn nghiệm đúng \(\forall x\in R\).
​Với \(m=-3\) thay vào phương trình ta được:
\(0x=4.\left(-3\right)-4\)\(\Leftrightarrow0x=-16\) phương trình vô nghiệm.
​Xét \(m^2+2m-3\ne0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ne-3\end{matrix}\right.\).
Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất: \(x=\dfrac{4}{m+3}\).
​Biện luận:
​Với m = 1 phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc R.
​Với m = -3 hệ vô nghiệm.
​Với \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ne-3\end{matrix}\right.\) phương trình có nghiệm duy nhất là: \(x=\dfrac{4}{m+3}\).

a)
Đkxđ: \(\left\{{}\begin{matrix}-3x+2\ge0\\x+1\ne0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{-2}{3}\\x\ne-1\end{matrix}\right.\)
b)
Đkxđ: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2\ge0\\-x-4\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow2\le x\le4\).
c)
Đkxđ: \(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+6x+11>0\\2x+1\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow2x+1\ge0\)\(\Leftrightarrow x\ge-\dfrac{1}{2}\).
d)
Đkxđ: \(\left\{{}\begin{matrix}x+4\ge0\\x^2-9\ne0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-4\\x\ne3\\x\ne-3\end{matrix}\right.\).

Gọi p/s thứ nhất là \(\dfrac{1}{x}\), p/s thứ 2 là \(\dfrac{1}{y}\), p/s thứ 3 là \(\dfrac{1}{z}\)

Theo đề bài ta có : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\) (1)

và \(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}\); \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=5\cdot\left(\dfrac{1}{z}\right)\).

Thay biểu thức \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=5\cdot\left(\dfrac{1}{z}\right)\) trên vào (1) ta được :

\(5\cdot\left(\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{z}=1\Rightarrow z=6\) Vậy phân số thứ ba là \(\dfrac{1}{6}\).

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=5\cdot\dfrac{1}{6}\end{matrix}\right.\left(Đề-bài\right)\)

Bài toán tổng hiệu \(\dfrac{1}{x}\) là số lớn, \(\dfrac{1}{y}\) là số bé (do \(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\) ra số dương).

Vậy \(\dfrac{1}{x}=\dfrac{\left(\dfrac{1}{6}+5\cdot\dfrac{1}{6}\right)}{2}=\dfrac{1}{2}\); \(\dfrac{1}{y}=5\cdot\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\)

Vậy phân số thứ nhất là \(\dfrac{1}{2}\), phân số thứ hai là \(\dfrac{1}{3}\), phân số thứ ba là \(\dfrac{1}{6}\).

Để phương trình có hai nghiệm \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\a\ne0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(3m-1\right)^2-4.\left(m+1\right)\left(2m-2\right)\ge0\\\Delta\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-6m+9\ge0\\m\ne-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-3\right)^2\ge0\\m\ne1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow m\ne1\).
​Áp dụng định ly Viet:

\(x_1+x_2=-\dfrac{3m-1}{m+1}=3\)\(\Leftrightarrow3m-1=-3m-3\)\(\Leftrightarrow6m=-2\)\(\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{3}\).
​Vậy \(m=-\dfrac{1}{3}\) là giá trị cần tìm.

mấy bài này là ở lớp 9 học kì 2 dùng cộng đại số là nhanh nhất hoặc bấm máy tính

Bấm MODE nhập 5 nhập 3

a, bấm 5 = -3 = -7 = ta được \(x_1=\dfrac{3+\sqrt{149}}{10};x_2=\dfrac{3-\sqrt{149}}{10}\)

Tương tự cho các câu còn lại

Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Hai phương trình \(2x-5=0\)và \(3x-\dfrac{15}{2}=0\) tương đương với nhau vì cùng có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{5}{2}\)

a, ĐK x\(\ge5\) Đặt \(\sqrt{x-5}=y\Rightarrow x=y^2+5\)

Phương tình đã cho trở thành:\(y^2+5+y=y+6\)

\(\Leftrightarrow y^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow y=-1;y=1\)

y=-1 loại vì \(\sqrt{x=5}\ge0\)

Ta có \(y=1\Rightarrow\sqrt{x-5}=1\Leftrightarrow x=6\)

b,làm tương tự câu a

c,ĐK:\(x\ge2\) Phương trình đã cho tương đương:\(\dfrac{x^2-8}{\sqrt{x-2}}=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=2\sqrt{2}\\x_2=-2\sqrt{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x=2\sqrt{2}\).

- Điều kiện cần:
Phương trình \(3x-1\) có nghiệm là \(x=\dfrac{1}{3}\).
Điều kiện xác định của \(\dfrac{3mx+1}{x-2}+2m-1=0\) là \(x\ne2\).
Để cặp phương trình tương đương thì phương trình \(\dfrac{3mx+1}{x-2}+2m-1=0\) có nghiệm duy nhất là \(x=\dfrac{1}{3}\).
Từ đó suy ra: \(\dfrac{3m.\dfrac{1}{3}+1}{\dfrac{1}{3}-2}+2m-1=0\)\(\Leftrightarrow-\dfrac{3}{5}\left(m+1\right)+2m-1=0\)\(\Leftrightarrow\dfrac{7}{5}m-\dfrac{8}{5}=0\)\(\Leftrightarrow m=\dfrac{8}{7}\).
- Điều kiện đủ
Thay \(m=\dfrac{8}{7}\) vào phương trình \(\dfrac{3mx+1}{x-2}+2m-1=0\) ta được:
\(\dfrac{3.\dfrac{8}{7}x+1}{x-2}+2.\dfrac{8}{7}-1=0\)\(\Leftrightarrow\dfrac{24}{7}x+1+\dfrac{9}{7}\left(x-2\right)=0\)\(\dfrac{33}{7}x-\dfrac{11}{7}\)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\).
Vậy \(m=\dfrac{8}{7}\) thì cặp phương trình tương đương.