Áp dụng bđt \(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}>\dfrac{2}{a+b}\left(a\ne b;a,b>0\right)\)ta có:

\(\dfrac{1}{\sqrt{1.1998}}>\dfrac{2}{1+1998}=\dfrac{2}{1999}\)

\(\dfrac{1}{\sqrt{2.1997}}>\dfrac{2}{2+1997}=\dfrac{2}{1999}\)

...

\(\dfrac{1}{\sqrt{1998.1}}>\dfrac{2}{1998+1}=\dfrac{2}{1999}\)

Cộng vế với vế ta được P > \(2.\dfrac{1998}{1999}\)

Polime nào sau đây có thành phần hóa học gồm các nguyên tố C, H và O?

A. Poli(vinyl clorua).

B. Poliacrilonitrin.

C. Poli(metyl metacrylat).

D. Polietilen.

2^x + 3^y + 5^z = 136

=> 5^z < 136

=> z < 4

z nguyên dương nên \(z\in\left\{1;2;3\right\}\)

+) z = 1, thay vào đề ta được: 2^x + 3^y + 5 = 136

=> 2^x + 3^y = 131

=> 3^y < 131 => y < 5

y nguyên dương nên \(y\in\left\{1;2;3;4\right\}\)

sau khi thử ta thấy y = 1; x = 7 thỏa mãn

các trường hợp còn lại tương tự

Đặt \(L=\sqrt{\dfrac{x^2+4y^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{x^2+2xy+4y^2}{3}}\)

\(L=\sqrt{\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{\left(2y\right)^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{3}+\dfrac{y^2}{1}}\)

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel vào L ta có:

\(L\ge\sqrt{\dfrac{\left(x+2y\right)^2}{2+2}}+\sqrt{\dfrac{\left(x+y+y\right)^2}{3+1}}\)

\(L\ge\dfrac{x+2y}{2}+\dfrac{x+2y}{2}=x+2y\left(đpcm\right)\)

Bình tĩnh rồi sẽ có người làm

Ta có: EF // BD (gt)

BF // ED (gt)

Suy ra EF = BD; BF = DE (t/c đoạn chắn)

Trên AB lấy K sao cho AF = BK

\(\Delta AFE\) và \(\Delta KBD\) có:

AF = BK (cách vẽ)

AFE = KBD (đồng vị)

EF = BD (cmt)

Do đó, \(\Delta AFE=\Delta KBD\left(c.g.c\right)\)

=> AE = KD (2 cạnh t/ứ)

= BF = ED (theo gt AE = BF, theo cmt BF = ED)

Kẻ \(DM\perp AB;DN\perp AC\)

\(\Delta\) DMK vuông tại M và \(\Delta\) DNE vuông tại N có:

DK = DE (cmt)

MKD = NED (cùng đồng vị với FAE)

Do đó, \(\Delta DMK=\Delta DNE\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> DM = DN (2 cạnh t/ứ)

=> D cách đều AB và AC (đpcm)

(x + y)(y + z)(z + x) + 10 = 2017

2017 lẻ; 10 chẵn nên (x + y)(y + z)(z + x) lẻ

=> x + y; y + z; z + x cùng lẻ (1)

=> (x + y) - (y + z) chẵn; (y + z) - (z + x) chẵn

=> x - z chẵn; y - x chẵn

=> x; y; z cùng tính chẵn lẻ

=> x + y; y + z; z + x cùng chẵn, mâu thuẫn với (1)

Vậy không tìm được giá trị x;y;z thỏa mãn đề

Tổng các hệ số của đa thức bằng giá trị của đa thức đó tại x = 1

cứ thế áp dụng vào

a + 3 = 5^c => 3 = 5^c - a

Ta có: a³ + 3a² + 5 = 5^b

=> a³ + (5^c - a).a² + 5 = 5^b

=> a³ + 5^c.a² - a³ + 5 = 5^b

=> 5^c.a² + 5 = 5^b

=> \(5^c=\dfrac{5^b-5}{a^2}=\dfrac{5.\left(5^{b-1}-1\right)}{a^2}\)

Do c nguyên dương nên 5^c > 0 => 5.(5^b-1 - 1) > 0

=> 5^b-1 - 1 > 0

Lại thấy 5^b-1 - 1 không chia hết cho 5 nên \(\left\{{}\begin{matrix}5^c=5=5^1\\5^{b-1}-1=a^2\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}c=1\\5^{b-1}-1=a^2\end{matrix}\right.\)

Thay c = 1 vào a + 3 = 5^c ta được: a + 3 = 5

=> a = 2

Thay a = 2 vào 5^b-1 - 1 = a² ta được:

5^b-1 - 1 = 2²

=> 5^b-1 = 5

=> b - 1 = 1 => b = 2

Vậy ...

x⁹ - x⁷ - x⁶ - x⁵ + x⁴ + x³ + x² - 1

= x⁷(x² - 1) - x⁴(x² - 1) - x³(x² - 1) + (x² - 1)

= (x² - 1)(x⁷ - x⁴ - x³ + 1)

= (x² - 1)(x³ - 1)(x⁴ - 1)

= (x² - 1)²(x² + 1)(x³ - 1)